以下の6つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{\sin x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2 \sin x}{x - \sin x}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+2x)}{\log(3+4x)}$ (6) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}$

1. 問題の内容

以下の6つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{\sin x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2 \sin x}{x - \sin x}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+2x)}{\log(3+4x)}$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{\sin x}$

ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\cos x} = \frac{1}{1} = 1$

または、$\sin^{-1} x \sim x$、$\sin x \sim x$より$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2}$

ロピタルの定理を2回用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{1+x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1+x)} = \frac{1}{2}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

ロピタルの定理を3回用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2 \sin x}{x - \sin x}$

ロピタルの定理を3回用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2 \cos x}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} + 2 \sin x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} + 2 \cos x}{\cos x} = \frac{1 + 1 + 2}{1} = 4$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+2x)}{\log(3+4x)}$

ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1+2x}}{\frac{4}{3+4x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2(3+4x)}{4(1+2x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{6+8x}{4+8x} = \lim_{x \to \infty} \frac{8}{8} = 1$

または、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(2x)}{\log(4x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log 2 + \log x}{\log 4 + \log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\log 2}{\log x} + 1}{\frac{\log 4}{\log x} + 1} = \frac{0+1}{0+1} = 1$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}$

ロピタルの定理を2回用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 \log x \cdot \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \log x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1/2

(3) 1/6

(4) 4

(5) 1

(6) 0