$a$ を正の定数とする。関数 $f(x) = (\log x)^2 - ax$ について、以下の問いに答える。ただし、$y=f(x)$ のグラフは $x$ 軸に接している。 (1) 定数 $a$ の値を求めよ。 (2) 関数 $y = f(x)$ ($x > 0$) のグラフの凹凸を調べ、変曲点を求めよ。 (3) 方程式 $f(x) = 0$ の解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。関数 $f(x) = (\log x)^2 - ax$ について、以下の問いに答える。ただし、$y=f(x)$ のグラフは $x$ 軸に接している。

(1) 定数 $a$ の値を求めよ。

(2) 関数 $y = f(x)$ ($x > 0$) のグラフの凹凸を調べ、変曲点を求めよ。

(3) 方程式 $f(x) = 0$ の解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $x$ 軸に接するということは、$f(x) = 0$ となる $x$ が存在し、その点で $f'(x) = 0$ となる。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = \frac{2 \log x}{x} - a$

$f(x) = 0$ かつ $f'(x) = 0$ となる $x$ が存在するので、

$(\log x)^2 - ax = 0$

$\frac{2 \log x}{x} - a = 0$

$a = \frac{(\log x)^2}{x}$ かつ $a = \frac{2 \log x}{x}$

したがって、$\frac{(\log x)^2}{x} = \frac{2 \log x}{x}$ となる。

$(\log x)^2 = 2 \log x$

$(\log x)^2 - 2 \log x = 0$

$\log x (\log x - 2) = 0$

$\log x = 0$ または $\log x = 2$

$\log x = 0$ のとき $x = 1$ であり、$a = \frac{2 \log x}{x} = 0$ となるが、$a>0$ より不適。

$\log x = 2$ のとき $x = e^2$ であり、$a = \frac{2 \log x}{x} = \frac{2 \cdot 2}{e^2} = \frac{4}{e^2}$ となる。

これは $a>0$ を満たす。

(2) $f'(x) = \frac{2 \log x}{x} - a$ より、$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - 2 \log x}{x^2} = \frac{2 - 2 \log x}{x^2} = \frac{2(1 - \log x)}{x^2}$

$f''(x) = 0$ となるのは $1 - \log x = 0$ のとき、すなわち $\log x = 1$ のとき。

したがって、$x = e$ が変曲点の候補となる。

$x < e$ のとき $\log x < 1$ より $f''(x) > 0$ (下に凸)。

$x > e$ のとき $\log x > 1$ より $f''(x) < 0$ (上に凸)。

よって、$x = e$ は変曲点であり、そのときの $y$ 座標は $f(e) = (\log e)^2 - ae = 1^2 - \frac{4}{e^2} e = 1 - \frac{4}{e}$

したがって、変曲点は $(e, 1 - \frac{4}{e})$ である。

(3) $f(x) = (\log x)^2 - ax = (\log x)^2 - \frac{4}{e^2}x = 0$ の解の個数を求める。

$f(x) = 0$ のとき、$(\log x)^2 = \frac{4}{e^2}x$

これは、$y = (\log x)^2$ と $y = \frac{4}{e^2}x$ の交点の個数と等しい。

$x=e^2$ のとき、$f(e^2) = 0$ であるから、$x=e^2$ は解の一つである。

また、$f'(e^2) = 0$ より、$y=f(x)$ は $x=e^2$ で $x$ 軸に接する。

$x=1$ のとき、$f(1) = -a < 0$ である。

$x \to 0$ のとき $\log x \to -\infty$ なので、$f(x) \to \infty$ である。

$x \to \infty$ のとき $\log x$ の増加よりも $x$ の増加の方が大きいので、$f(x) \to -\infty$ である。

$f(x)$ のグラフは、$x=e^2$ で $x$ 軸に接し、$x \to 0$ で $\infty$ に発散し、$x \to \infty$ で $-\infty$ に発散する。

変曲点は $(e, 1 - \frac{4}{e})$ であり、$1 - \frac{4}{e} < 0$ なので、変曲点は $x$ 軸より下にある。

グラフの概形を考えると、方程式 $f(x) = 0$ の解の個数は 2 個である。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{4}{e^2}$

(2) 変曲点: $(e, 1 - \frac{4}{e})$、凹凸: $0 < x < e$ で下に凸、$x > e$ で上に凸

(3) 2 個