$\arctan\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

$\arctan\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = \arctan\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ とおきます。

合成関数の微分法を用いて、微分を計算します。

$\arctan u$ の微分は $\frac{1}{1+u^2}$ です。

$\sqrt{u}$ の微分は $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ です。

$\frac{x-1}{2-x}$ の微分は $\frac{(2-x) - (x-1)(-1)}{(2-x)^2} = \frac{2-x + x -1}{(2-x)^2} = \frac{1}{(2-x)^2}$ です。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\sqrt{\frac{x-1}{2-x}})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}} \cdot \frac{1}{(2-x)^2}$

$= \frac{1}{1+\frac{x-1}{2-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}} \cdot \frac{1}{(2-x)^2}$

$= \frac{1}{\frac{2-x+x-1}{2-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}} \cdot \frac{1}{(2-x)^2}$

$= \frac{2-x}{1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}} \cdot \frac{1}{(2-x)^2}$

$= \frac{1}{2(2-x)\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}}$

$= \frac{1}{2(2-x)\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{2-x}}}$

$= \frac{\sqrt{2-x}}{2(2-x)\sqrt{x-1}}$

$= \frac{1}{2\sqrt{(2-x)(x-1)}}$

$= \frac{1}{2\sqrt{-x^2+3x-2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2\sqrt{-x^2+3x-2}}$