与えられた定積分の値を計算します。定積分は、積分区間が1から2で、被積分関数が $x + \frac{3}{x^2}$ です。つまり、 $\int_1^2 \left(x + \frac{3}{x^2}\right) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を計算します。定積分は、積分区間が1から2で、被積分関数が $x + \frac{3}{x^2}$ です。つまり、

$\int_1^2 \left(x + \frac{3}{x^2}\right) dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。

$\int \left(x + \frac{3}{x^2}\right) dx = \int (x + 3x^{-2}) dx$

$= \int x dx + 3 \int x^{-2} dx$

$= \frac{x^2}{2} + 3\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) + C$

$= \frac{x^2}{2} - \frac{3}{x} + C$

次に、求めた不定積分に積分区間の上限と下限を代入して、その差を計算します。

$\int_1^2 \left(x + \frac{3}{x^2}\right) dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{3}{x}\right]_1^2$

$= \left(\frac{2^2}{2} - \frac{3}{2}\right) - \left(\frac{1^2}{2} - \frac{3}{1}\right)$

$= \left(\frac{4}{2} - \frac{3}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} - 3\right)$

$= \left(2 - \frac{3}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{6}{2}\right)$

$= \frac{1}{2} - \left(-\frac{5}{2}\right)$

$= \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

$= \frac{6}{2}$

$= 3$

3. 最終的な答え

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