以下の三角関数の値を計算し、空欄を埋める。また、sinをcosに、cosをsinに変換する。 * $\sin(\frac{7}{4}\pi)$ * $\tan(-\frac{11}{4}\pi)$ * $\sin(-\frac{5}{12}\pi)$ * $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(\theta - \pi)$を満たす$\theta$ * $\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = \sin(2x - \pi)$を満たす

1. 問題の内容

以下の三角関数の値を計算し、空欄を埋める。また、sinをcosに、cosをsinに変換する。

* $\sin(\frac{7}{4}\pi)$

* $\tan(-\frac{11}{4}\pi)$

* $\sin(-\frac{5}{12}\pi)$

* $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(\theta - \pi)$を満たす$\theta$

* $\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = \sin(2x - \pi)$を満たす

2. 解き方の手順

* $\sin(\frac{7}{4}\pi)$について:

$\frac{7}{4}\pi$ は第4象限の角であり、基準角は$\frac{\pi}{4}$である。したがって、$\sin(\frac{7}{4}\pi) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。

* $\tan(-\frac{11}{4}\pi)$について:

$-\frac{11}{4}\pi = -\frac{8}{4}\pi - \frac{3}{4}\pi = -2\pi - \frac{3}{4}\pi$。したがって、$\tan(-\frac{11}{4}\pi) = \tan(-\frac{3}{4}\pi) = \tan(-\frac{3}{4}\pi + \pi) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$。

* $\sin(-\frac{5}{12}\pi)$について:

$\sin(-\frac{5}{12}\pi) = \sin(-\frac{2}{12}\pi - \frac{3}{12}\pi) = \sin(-\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4})$。加法定理を用いると、

$\sin(-\frac{5}{12}\pi) = \sin(-\frac{\pi}{6})\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(-\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$。

* $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(\theta - \pi)$について:

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2} - (x - \frac{\pi}{6})) = \cos(\frac{2\pi}{3} - x)$。したがって、$\cos(\frac{2\pi}{3} - x) = \cos(\theta - \pi)$。$\theta - \pi = \frac{2\pi}{3} - x$より、$\theta = \frac{5\pi}{3} - x$となる。また、$\theta - \pi = x - \frac{2\pi}{3}$より、$\theta = x + \frac{\pi}{3}$となる。$\theta = x + \frac{\pi}{3}$を代入することで$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(x + \frac{\pi}{3} - \pi) = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$となる。

$\cos(\theta) = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$なので、$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta + \pi) = \sin(\frac{3\pi}{2} - \theta)$。 $\theta = \frac{\pi}{2} - (x - \frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{3} - x$。 $\frac{2\pi}{3}$の定数部分が必要なので、$\theta = x+\frac{\pi}{3}$となる。

よって、$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(x + \frac{\pi}{3} - \pi) = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$.

* $\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = \sin(2x - \pi)$について:

$\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} - (2x + \frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{3} - 2x)$。したがって、$\sin(\frac{\pi}{3} - 2x) = \sin(2x - \pi)$。

$\sin(\frac{\pi}{3} - 2x) = -\sin(2x - \frac{\pi}{3})$だから、$2x - \pi = \frac{\pi}{3} - 2x$とならない。

$\sin(2x - \pi) = -\sin(2x)$であり、$\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2x - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3} - 2x)$.

よって、$\frac{\pi}{3} - 2x = 2x - \pi$となるはずだが、$\frac{4\pi}{3} = 4x$より、$x = \frac{\pi}{3}$となり一般性がないので、$sin$に直すことはできない。

$\cos(\theta) = \sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$だから、$\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2x - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3} - 2x)$.

したがって$\sin(2x-\pi)$となるためには、$2x - \pi = \frac{\pi}{3} - 2x$. よって $4x = \frac{4\pi}{3}$となり、$x = \frac{\pi}{3}$. 一般的な解ではない。

$\sin(2x-\frac{5\pi}{6})$.

3. 最終的な答え

* $\sin(\frac{7}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\tan(-\frac{11}{4}\pi) = 1$

* $\sin(-\frac{5}{12}\pi) = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

* $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(x + \frac{\pi}{3} - \pi)$

* $\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = \sin(2x - \frac{5\pi}{6})$