次の逆三角関数の値を求める問題です。 (1) $\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ (2) $\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ (3) $\sec^{-1}(-2)$ (4) $\csc^{-1}(1)$

1. 問題の内容

次の逆三角関数の値を求める問題です。

(1) $\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

(2) $\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$

(3) $\sec^{-1}(-2)$

(4) $\csc^{-1}(1)$

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ を求めます。

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を探します。$\sin$ の値が負なので、$\theta$ は第3象限または第4象限にあります。逆正弦関数の範囲は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ なので、$\theta$ は第4象限にあります。

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるため、$\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$ となります。

(2) $\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ を求めます。

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ を探します。$\cos$ の値が正なので、$\theta$ は第1象限または第4象限にあります。逆余弦関数の範囲は $[0, \pi]$ なので、$\theta$ は第1象限にあります。

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であるため、$\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$ となります。

(3) $\sec^{-1}(-2)$ を求めます。

$\sec \theta = -2$ となる $\theta$ を探します。$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ なので、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となります。

$\cos$ の値が負なので、$\theta$ は第2象限または第3象限にあります。逆正割関数の範囲は $[0, \pi], \theta \neq \frac{\pi}{2}$ なので、$\theta$ は第2象限にあります。

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ であるため、$\sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3}$ となります。

(4) $\csc^{-1}(1)$ を求めます。

$\csc \theta = 1$ となる $\theta$ を探します。$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ なので、$\sin \theta = 1$ となります。

$\sin \theta = 1$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{2}$ です。逆余割関数の範囲は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], \theta \neq 0$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

$\csc^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{4}$

(3) $\frac{2\pi}{3}$

(4) $\frac{\pi}{2}$