$f(x) = kx^2$ (ただし、$0 < a < 1$, $k > 0$) について、以下の積分 $A, B, C, D, E, F$ の大小関係に関する記述のうち、正しいものを選ぶ問題です。 $A = \int_{0}^{1} f(x) dx$ $B = \int_{0}^{a} f(x) dx$ $C = \int_{a}^{1} f(x) dx$ $D = \int_{0}^{1} f(a) dx$ $E = \int_{0}^{a} f(a) dx$ $F = \int_{a}^{1} f(a) dx$ (i) $A$ と $D$ の関係 (ii) $B$ と $E$ の関係 (iii) $C$ と $F$ の関係

1. 問題の内容

$f(x) = kx^2$ (ただし、$0 < a < 1$, $k > 0$) について、以下の積分 $A, B, C, D, E, F$ の大小関係に関する記述のうち、正しいものを選ぶ問題です。

$A = \int_{0}^{1} f(x) dx$

$B = \int_{0}^{a} f(x) dx$

$C = \int_{a}^{1} f(x) dx$

$D = \int_{0}^{1} f(a) dx$

$E = \int_{0}^{a} f(a) dx$

$F = \int_{a}^{1} f(a) dx$

(i) $A$ と $D$ の関係

(ii) $B$ と $E$ の関係

(iii) $C$ と $F$ の関係

2. 解き方の手順

(i) $A$ と $D$ の関係

$A = \int_{0}^{1} kx^2 dx = k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{k}{3}$

$D = \int_{0}^{1} f(a) dx = \int_{0}^{1} ka^2 dx = ka^2 [x]_{0}^{1} = ka^2$

$A \le D$ かどうかを調べる。

$\frac{k}{3} \le ka^2$ ⇔ $\frac{1}{3} \le a^2$ ⇔ $a \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$

$0 < a < 1$ なので、常に $A \le D$ とは限らない。

$A \ge D$ かどうかを調べる。

$\frac{k}{3} \ge ka^2$ ⇔ $\frac{1}{3} \ge a^2$ ⇔ $a \le \frac{1}{\sqrt{3}}$

$0 < a < 1$ なので、常に $A \ge D$ とは限らない。

$a$ の値によって大小関係が変わるので、A≦Dが成り立たないaも、A≥Dが成り立たないaも存在する。

(ii) $B$ と $E$ の関係

$B = \int_{0}^{a} kx^2 dx = k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{a} = \frac{ka^3}{3}$

$E = \int_{0}^{a} f(a) dx = \int_{0}^{a} ka^2 dx = ka^2 [x]_{0}^{a} = ka^3$

$B = 3E$ ⇔ $\frac{ka^3}{3} = 3ka^3$ ⇔ $\frac{1}{3} = 3$ これは成り立たない。

$3B = E$ ⇔ $3 \times \frac{ka^3}{3} = ka^3 = ka^3$ これは常に成り立つ。

したがって、常に $3B = E$ が成り立つ。

(iii) $C$ と $F$ の関係

$C = \int_{a}^{1} kx^2 dx = k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{a}^{1} = \frac{k}{3} (1 - a^3)$

$F = \int_{a}^{1} f(a) dx = \int_{a}^{1} ka^2 dx = ka^2 [x]_{a}^{1} = ka^2 (1 - a)$

$C < F$ かどうかを調べる。

$\frac{k}{3} (1 - a^3) < ka^2 (1 - a)$ ⇔ $\frac{1}{3} (1 - a)(1 + a + a^2) < a^2 (1 - a)$

$0 < a < 1$ より $1 - a > 0$ であるから、両辺を $1 - a$ で割って、

$\frac{1}{3} (1 + a + a^2) < a^2$ ⇔ $1 + a + a^2 < 3a^2$ ⇔ $2a^2 - a - 1 > 0$ ⇔ $(2a + 1)(a - 1) > 0$

$a > 1$ または $a < -\frac{1}{2}$。これは $0 < a < 1$ に反するので、常に $C < F$ とはならない。

$C > F$ かどうかを調べる。

$\frac{k}{3} (1 - a^3) > ka^2 (1 - a)$ ⇔ $\frac{1}{3} (1 + a + a^2) > a^2$ ⇔ $(2a + 1)(a - 1) < 0$

$-\frac{1}{2} < a < 1$。これは $0 < a < 1$ の範囲で成り立つ。

したがって、常に $C > F$ とは限らない。

$C<F$が成り立たないaも、$C>F$が成り立たないaも存在する。

3. 最終的な答え

(i) (2)

(ii) (1)

(iii) (2)