与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $x^7 - 2x^4 + 3x^2 + 4$ (2) $\log(2 - \log x)$ ($0 < x < e^2$) (3) $\frac{x}{\sqrt{x-3}}$ ($x > 3$) (4) $\sqrt{x^{x^2}}$ ($x > 0$)

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $x^7 - 2x^4 + 3x^2 + 4$

(2) $\log(2 - \log x)$ ($0 < x < e^2$)

(3) $\frac{x}{\sqrt{x-3}}$ ($x > 3$)

(4) $\sqrt{x^{x^2}}$ ($x > 0$)

2. 解き方の手順

各関数の微分を順に計算します。

(1) $f(x) = x^7 - 2x^4 + 3x^2 + 4$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(x^7) = 7x^6$

$\frac{d}{dx}(-2x^4) = -8x^3$

$\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$

$\frac{d}{dx}(4) = 0$

したがって、$f'(x) = 7x^6 - 8x^3 + 6x$

(2) $f(x) = \log(2 - \log x)$

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \log u = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ を利用します。

$u = 2 - \log x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x}$

したがって、$f'(x) = \frac{1}{2 - \log x} \cdot \left( -\frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x(2 - \log x)}$

(3) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-3}}$

商の微分法 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x$, $v = \sqrt{x-3} = (x-3)^{1/2}$

$u' = 1$

$v' = \frac{1}{2}(x-3)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x-3}}$

$f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x-3} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-3}}}{(\sqrt{x-3})^2} = \frac{\sqrt{x-3} - \frac{x}{2\sqrt{x-3}}}{x-3} = \frac{2(x-3) - x}{2(x-3)\sqrt{x-3}} = \frac{x - 6}{2(x-3)^{3/2}}$

(4) $f(x) = \sqrt{x^{x^2}} = (x^{x^2})^{1/2} = x^{x^2/2}$

両辺の対数をとると、$\log f(x) = \frac{x^2}{2} \log x$

両辺を$x$で微分すると、$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2x}{2} \log x + \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} = x \log x + \frac{x}{2}$

したがって、$f'(x) = f(x) \left( x \log x + \frac{x}{2} \right) = x^{x^2/2} \left( x \log x + \frac{x}{2} \right) = x^{x^2/2} \cdot \frac{x}{2}(2 \log x + 1) = \frac{x^{x^2/2 + 1}}{2}(2 \log x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $7x^6 - 8x^3 + 6x$

(2) $-\frac{1}{x(2 - \log x)}$

(3) $\frac{x - 6}{2(x-3)^{3/2}}$

(4) $\frac{x^{\frac{x^2}{2}+1}}{2}(2\log x + 1)$