次の3つの関数について、定義域と値域を明記し、グラフを描き、漸近線があればその式を求める問題です。 (1) $y = -x^2 + 3x - 2$ (2) $y = \frac{x-1}{x+1}$ (3) $y = 2^{x-1} - 1$

1. 問題の内容

次の3つの関数について、定義域と値域を明記し、グラフを描き、漸近線があればその式を求める問題です。

(1) $y = -x^2 + 3x - 2$

(2) $y = \frac{x-1}{x+1}$

(3) $y = 2^{x-1} - 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 + 3x - 2$

* 平方完成して頂点を求める。

$y = -(x^2 - 3x) - 2 = -(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 2 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - 2 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{4}$

頂点は $(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$

* 定義域：実数全体

* 値域：$y \leq \frac{1}{4}$

* 漸近線：なし

(2) $y = \frac{x-1}{x+1}$

* 変形して漸近線を求める。

$y = \frac{x+1-2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$

* 定義域：$x \neq -1$

* 値域：$y \neq 1$

* 漸近線：$x = -1$, $y = 1$

(3) $y = 2^{x-1} - 1$

* 定義域：実数全体

* 値域：$y > -1$

* 漸近線：$y = -1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 3x - 2$

* 定義域：実数全体

* 値域：$y \leq \frac{1}{4}$

* 漸近線：なし

(2) $y = \frac{x-1}{x+1}$

* 定義域：$x \neq -1$

* 値域：$y \neq 1$

* 漸近線：$x = -1$, $y = 1$

(3) $y = 2^{x-1} - 1$

* 定義域：実数全体

* 値域：$y > -1$

* 漸近線：$y = -1$