以下の極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 4x} - x)$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 1}{4^x - 1}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4-x}}{x}$

1. 問題の内容

以下の極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 4x} - x)$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 1}{4^x - 1}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4-x}}{x}$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 1)$

$x$ に 2 を代入します。

$\lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3$

(2)

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 4x} - x)$ の形を変形します。$\sqrt{x^2 - 4x} + x$を分子分母にかけることで有理化します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 4x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 4x} - x)(\sqrt{x^2 - 4x} + x)}{\sqrt{x^2 - 4x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4x - x^2}{\sqrt{x^2 - 4x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-4x}{\sqrt{x^2 - 4x} + x}$

分母分子を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-4}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x} \to 0$ です。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-4}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1} = \frac{-4}{\sqrt{1 - 0} + 1} = \frac{-4}{1 + 1} = \frac{-4}{2} = -2$

(3)

$\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 1}{4^x - 1}$ の分母分子を $4^x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3^x}{4^x} - \frac{1}{4^x}}{1 - \frac{1}{4^x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{3}{4})^x - \frac{1}{4^x}}{1 - \frac{1}{4^x}}$

$x \to \infty$ のとき、$(\frac{3}{4})^x \to 0$ であり、$\frac{1}{4^x} \to 0$ です。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{3}{4})^x - \frac{1}{4^x}}{1 - \frac{1}{4^x}} = \frac{0 - 0}{1 - 0} = \frac{0}{1} = 0$

(4)

$\lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4-x}}{x}$ の形を変形します。$2 + \sqrt{4-x}$ を分子分母にかけることで有理化します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(2 - \sqrt{4-x})(2 + \sqrt{4-x})}{x(2 + \sqrt{4-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{4 - (4 - x)}{x(2 + \sqrt{4-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(2 + \sqrt{4-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 + \sqrt{4-x}}$

$x$ に 0 を代入します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{2 + \sqrt{4-x}} = \frac{1}{2 + \sqrt{4 - 0}} = \frac{1}{2 + \sqrt{4}} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) -2

(3) 0

(4) 1/4