$\alpha > 1$ かつ $x > 1$ のとき、以下の不等式が成り立つことを証明する問題です。 $$ \alpha(x-1) < x^\alpha - 1 < \alpha x^{\alpha-1}(x-1) $$

1. 問題の内容

$\alpha > 1$ かつ $x > 1$ のとき、以下の不等式が成り立つことを証明する問題です。

$$\alpha(x-1) < x^\alpha - 1 < \alpha x^{\alpha-1}(x-1)$$

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^\alpha$ とおきます。ここで、$f'(x) = \alpha x^{\alpha - 1}$ となります。

次に、平均値の定理を用います。$f(x)$ は $x > 0$ で微分可能なので、$x > 1$ のとき、区間 $[1, x]$ で平均値の定理が適用できます。

平均値の定理より、

$$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(c)$$

となる $c$ が $1 < c < x$ の範囲に存在します。

これを書き換えると、

$$\frac{x^\alpha - 1}{x - 1} = \alpha c^{\alpha - 1}$$

となります。

ここで、$1 < c < x$ であることから、$x > 1$ かつ $\alpha > 1$ より、

$$1 < c^{\alpha - 1} < x^{\alpha - 1}$$

が成り立ちます。両辺に $\alpha$ をかけると、

$$\alpha < \alpha c^{\alpha - 1} < \alpha x^{\alpha - 1}$$

となります。

先ほどの式 $\frac{x^\alpha - 1}{x - 1} = \alpha c^{\alpha - 1}$ を代入すると、

$$\alpha < \frac{x^\alpha - 1}{x - 1} < \alpha x^{\alpha - 1}$$

が得られます。

各辺に $(x - 1)$ をかけると、$x > 1$ より $x - 1 > 0$ なので、不等号の向きは変わりません。

$$\alpha(x - 1) < x^\alpha - 1 < \alpha x^{\alpha - 1}(x - 1)$$

これで証明が完了しました。

3. 最終的な答え

$\alpha > 1$ かつ $x > 1$ のとき、

$$\alpha(x-1) < x^\alpha - 1 < \alpha x^{\alpha-1}(x-1)$$

が成り立つ。