与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 0+0} \sqrt{x}^{(x^2)} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to 0+0} \sqrt{x}^{(x^2)}

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2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y$ とおきます。

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y = \sqrt{x}^{(x^2)}

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両辺の自然対数をとります。

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\ln{y} = \ln{(\sqrt{x}^{(x^2)})} = x^2 \ln{\sqrt{x}} = x^2 \ln{x^{1/2}} = \frac{1}{2}x^2 \ln{x}

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極限を計算します。

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\lim_{x \to 0+0} \ln{y} = \lim_{x \to 0+0} \frac{1}{2}x^2 \ln{x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0+0} x^2 \ln{x}

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ここで、$x^2 \ln{x}$ の極限を計算します。これは不定形 $0 \cdot (-\infty)$ なので、ロピタルの定理を使うために分数に変形します。

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\lim_{x \to 0+0} x^2 \ln{x} = \lim_{x \to 0+0} \frac{\ln{x}}{1/x^2}

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これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理を適用します。

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\lim_{x \to 0+0} \frac{\ln{x}}{1/x^2} = \lim_{x \to 0+0} \frac{1/x}{-2/x^3} = \lim_{x \to 0+0} \frac{1}{x} \cdot \frac{-x^3}{2} = \lim_{x \to 0+0} \frac{-x^2}{2} = 0

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したがって、

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\lim_{x \to 0+0} \ln{y} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0+0} x^2 \ln{x} = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0

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ここで、$y = e^{\ln{y}}$ なので、

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\lim_{x \to 0+0} y = \lim_{x \to 0+0} e^{\ln{y}} = e^{\lim_{x \to 0+0} \ln{y}} = e^0 = 1

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3. 最終的な答え

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\lim_{x \to 0+0} \sqrt{x}^{(x^2)} = 1

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