与えられた極限を計算します。具体的には、以下の問題が含まれます。 [1] 1. $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。ロピタルの定理は使用しません。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。具体的には、以下の問題が含まれます。

[1]

1. $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$

2. $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$

3. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 1}$

4. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3}$

5. $\lim_{x \to +\infty} \{ \sqrt{x^2 + 9x} - \sqrt{x^2 - 9x} \}$

[2]

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

2. $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$

4. $\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}}$

5. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{\sin x}$

2. 解き方の手順

[1]

1. $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ なので、

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

2. $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$

$\frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}} = \frac{1 - 2^{-2x}}{1 + 2^{-2x}}$ なので、

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 2^{-2x}}{1 + 2^{-2x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

3. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 1}$

$x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$、 $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 3)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{1 + 3}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$

4. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3}$

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$、 $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ なので、

$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 1)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{3 + 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

5. $\lim_{x \to +\infty} \{ \sqrt{x^2 + 9x} - \sqrt{x^2 - 9x} \}$

$\sqrt{x^2 + 9x} - \sqrt{x^2 - 9x} = \frac{(x^2 + 9x) - (x^2 - 9x)}{\sqrt{x^2 + 9x} + \sqrt{x^2 - 9x}} = \frac{18x}{\sqrt{x^2 + 9x} + \sqrt{x^2 - 9x}} = \frac{18x}{x(\sqrt{1 + \frac{9}{x}} + \sqrt{1 - \frac{9}{x}})}$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{18}{\sqrt{1 + \frac{9}{x}} + \sqrt{1 - \frac{9}{x}}} = \frac{18}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{18}{1 + 1} = \frac{18}{2} = 9$

[2]

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}$

$2x = t$と置くと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、

$2 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 2 \cdot 1 = 2$

2. $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

これは定義より $e$ になります。

$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$

$\frac{1 - \cos x}{x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x(1 + \cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x}{x(1 + \cos x)} = \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1 \cdot \frac{0}{1 + 1} = 1 \cdot 0 = 0$

4. $\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}}$

$2x = t$と置くと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、$x = \frac{t}{2}$

$\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{2}{t}} = \lim_{t \to 0} [(1+t)^{\frac{1}{t}}]^2 = e^2$

5. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{\sin x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

[1]

1. 12

2. 1

3. 2

4. 3/2

5. 9

[2]

1. 2

2. $e$

3. 0

4. $e^2$

5. 1