与えられた3つの関数について、$n$次導関数を求める問題です。 (1) $e^x \cos x$ (2) $\frac{1}{x^2-1}$ (3) $\cos 5x \cos 2x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、$n$次導関数を求める問題です。

(1) $e^x \cos x$

(2) $\frac{1}{x^2-1}$

(3) $\cos 5x \cos 2x$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^x \cos x$ の$n$次導関数を求める。

まず、$f'(x) = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x)$

$f''(x) = e^x (\cos x - \sin x) + e^x (-\sin x - \cos x) = -2 e^x \sin x$

$f'''(x) = -2 e^x \sin x - 2 e^x \cos x = -2 e^x (\sin x + \cos x)$

$f^{(4)}(x) = -2 e^x (\sin x + \cos x) - 2 e^x (\cos x - \sin x) = -4 e^x \cos x$

$f(x) = e^x \cos x = e^x (\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})/\sqrt{2}) = Re(e^x e^{ix}) = Re(e^{(1+i)x})$

$f'(x) = Re((1+i) e^{(1+i)x})$

$f''(x) = Re((1+i)^2 e^{(1+i)x})$

一般的に、$f^{(n)}(x) = Re((1+i)^n e^{(1+i)x})$.

$1+i = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$ なので、$(1+i)^n = (\sqrt{2})^n e^{i n\pi/4} = 2^{n/2} (\cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4})$

したがって、$f^{(n)}(x) = e^x 2^{n/2} \cos (x + \frac{n \pi}{4})$

(2) $f(x) = \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ を部分分数分解する。

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x=1$ のとき $1 = 2A$ なので $A = \frac{1}{2}$

$x=-1$ のとき $1 = -2B$ なので $B = -\frac{1}{2}$

$f(x) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$

$(\frac{1}{x-1})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x-1)^{n+1}}$

$(\frac{1}{x+1})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x+1)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} ((-1)^n \frac{n!}{(x-1)^{n+1}} - (-1)^n \frac{n!}{(x+1)^{n+1}})$

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}})$

(3) $f(x) = \cos 5x \cos 2x = \frac{1}{2} (\cos (5x+2x) + \cos (5x-2x)) = \frac{1}{2} (\cos 7x + \cos 3x)$

$(\cos ax)^{(n)} = a^n \cos (ax + \frac{n \pi}{2})$

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} (7^n \cos (7x + \frac{n \pi}{2}) + 3^n \cos (3x + \frac{n \pi}{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $e^x 2^{n/2} \cos (x + \frac{n \pi}{4})$

(2) $\frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}})$

(3) $\frac{1}{2} (7^n \cos (7x + \frac{n \pi}{2}) + 3^n \cos (3x + \frac{n \pi}{2}))$