関数 $y = x\sin x$ の $n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x\sin x$ の $n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を利用する。

ライプニッツの公式とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数を求める公式で、以下の通りである。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k u^{(n-k)}v^{(k)}$

ここで、$u(x) = x$、$v(x) = \sin x$ とおく。

$u(x)$ の導関数は以下のようになる。

$u'(x) = 1$

$u''(x) = 0$

$u^{(k)}(x) = 0$ ($k \ge 2$)

$v(x)$ の導関数は以下のようになる。

$v'(x) = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$

$v''(x) = -\sin x = \sin(x + 2\frac{\pi}{2})$

$v^{(k)}(x) = \sin(x + k\frac{\pi}{2})$

ライプニッツの公式に代入すると、

$y^{(n)} = (x\sin x)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k x^{(n-k)} (\sin x)^{(k)}$

$x$ の微分は2回以上すると0になるので、$n-k=0,1$ の項のみが残る。

$n-k=0$ のとき $k=n$, ${}_n C_n = 1$, $x^{(0)} = x$, $(\sin x)^{(n)} = \sin(x + n\frac{\pi}{2})$

$n-k=1$ のとき $k=n-1$, ${}_n C_{n-1} = n$, $x^{(1)} = 1$, $(\sin x)^{(n-1)} = \sin(x + (n-1)\frac{\pi}{2})$

したがって、

$y^{(n)} = x\sin(x + n\frac{\pi}{2}) + n\sin(x + (n-1)\frac{\pi}{2})$

ここで、$\sin(x + (n-1)\frac{\pi}{2}) = \sin(x + n\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) = \sin(x + n\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(x + n\frac{\pi}{2})\sin(\frac{\pi}{2}) = -\cos(x + n\frac{\pi}{2})$

$y^{(n)} = x\sin(x + n\frac{\pi}{2}) - n\cos(x + n\frac{\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = x\sin(x + \frac{n\pi}{2}) - n\cos(x + \frac{n\pi}{2})$