定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin 2x$ の原始関数を求めます。$\sin x$ の原始関数は $-\cos x$ であることを利用し、置換積分を行います。

$u = 2x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

よって、

$$\int \sin 2x \, dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin u \, du = \frac{1}{2} (-\cos u) + C = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$$

ここで、$C$ は積分定数です。

したがって、

\begin{align*}

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x \, dx &= \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\

&= -\frac{1}{2} \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2} \cos (2 \cdot 0)\right) \\

&= -\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cos 0 \\

&= -\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 \\

&= 0 + \frac{1}{2} \\

&= \frac{1}{2}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$