関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ の増減、極値、凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ の増減、極値、凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 定義域を確認する。$\log x$ が定義されるためには、$x>0$ である必要がある。

(2) 導関数 $f'(x)$ を計算する。商の微分法を用いる。

$f'(x) = \frac{(\log x)' \cdot x - \log x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

(3) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0$ より、$1 - \log x = 0$。したがって、$\log x = 1$。よって、$x = e$。

(4) $f'(x)$ の符号を調べる。

$x>0$ なので、$x^2>0$ である。したがって、$f'(x)$ の符号は $1 - \log x$ の符号によって決まる。

$0 < x < e$ のとき、$\log x < 1$ なので、$1 - \log x > 0$。よって、$f'(x) > 0$。

$x > e$ のとき、$\log x > 1$ なので、$1 - \log x < 0$。よって、$f'(x) < 0$。

したがって、$x=e$ で極大となる。極大値は $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$。

(5) 2階導関数 $f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = \frac{(1 - \log x)' \cdot x^2 - (1 - \log x) \cdot (x^2)'}{x^4} = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3 + 2 \log x}{x^3}$

(6) $f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{-3 + 2 \log x}{x^3} = 0$ より、$-3 + 2 \log x = 0$。したがって、$2 \log x = 3$。よって、$\log x = \frac{3}{2}$。したがって、$x = e^{\frac{3}{2}}$。

(7) $f''(x)$ の符号を調べる。

$x>0$ なので、$x^3>0$ である。したがって、$f''(x)$ の符号は $-3 + 2 \log x$ の符号によって決まる。

$0 < x < e^{\frac{3}{2}}$ のとき、$\log x < \frac{3}{2}$ なので、$-3 + 2 \log x < 0$。よって、$f''(x) < 0$。

$x > e^{\frac{3}{2}}$ のとき、$\log x > \frac{3}{2}$ なので、$-3 + 2 \log x > 0$。よって、$f''(x) > 0$。

したがって、$x=e^{\frac{3}{2}}$ で変曲点となる。変曲点の $y$ 座標は $f(e^{\frac{3}{2}}) = \frac{\log e^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{3}{2}}{e^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2e^{\frac{3}{2}}}$。

(8) グラフの概形を描く。

$x>0$ で定義され、$x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとる。$x=e^{\frac{3}{2}}$ で変曲点 $(\frac{e^{\frac{3}{2}}}{3}, \frac{3}{2e^{\frac{3}{2}}})$ を持つ。

$x \to 0$ のとき、$f(x) \to -\infty$。

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$。

3. 最終的な答え

増減：$0 < x < e$ で増加、$x > e$ で減少

極値：$x = e$ で極大値 $f(e) = \frac{1}{e}$

凹凸：$0 < x < e^{\frac{3}{2}}$ で上に凸、$x > e^{\frac{3}{2}}$ で下に凸

変曲点：$x = e^{\frac{3}{2}}$ で $(\frac{e^{\frac{3}{2}}}{3}, \frac{3}{2e^{\frac{3}{2}}})$

グラフの概形：省略（上記の情報から描画可能）