与えられた数列 $3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots$ が等比数列であると仮定して、その和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列 $3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots$ が等比数列であると仮定して、その和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、この数列が等比数列であることを確認します。そのためには、隣り合う項の比が一定であることを示します。

第2項を第1項で割ると、$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となります。

第3項を第2項で割ると、$\frac{1}{\sqrt{3}}$ となります。

第4項を第3項で割ると、$\frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となります。

したがって、公比 $r$ は $\frac{1}{\sqrt{3}}$ であることがわかります。

等比数列の初項を $a$ とすると、$a = 3$ です。

無限等比級数の和の公式は、$S = \frac{a}{1 - r}$ です。ただし、$|r| < 1$ である必要があります。今回、$r = \frac{1}{\sqrt{3}}$ なので、 $|r| < 1$ を満たします。

したがって、和 $S$ は、

$S = \frac{3}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}$

$S = \frac{3}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}$

$S = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$

$S = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$

$S = \frac{3(3 + \sqrt{3})}{3 - 1}$

$S = \frac{3(3 + \sqrt{3})}{2}$

$S = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$