関数 $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ に対して、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $f(x)$ の定義域 $X$ として適切なものを1つ求めます。 (2) $f(f(y))$ で表される数が意味をもつ $y$ の値を求めます。 (3) $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ を計算します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $f(x)$ の定義域 $X$ として適切なものを1つ求めます。

(2) $f(f(y))$ で表される数が意味をもつ $y$ の値を求めます。

(3) $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 定義域について

関数 $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ が定義されるためには、分母が0であってはいけません。

したがって、$x^2 - 1 \neq 0$ である必要があります。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ なので、$x \neq 1$ かつ $x \neq -1$ でなければなりません。

よって、定義域 $X$ として適切なものは、$X = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1, x \neq -1\}$ です。

(2) $f(f(y))$ について

$f(y) = \frac{1}{y^2 - 1}$ です。

$f(f(y))$ が意味を持つためには、$f(y)$ が定義されている必要があります。つまり、$y \neq 1$ かつ $y \neq -1$ である必要があります。

さらに、$f(f(y))$ が定義されるためには、$f(y) \neq 1$ かつ $f(y) \neq -1$ である必要があります。

$f(y) = 1$ のとき、$\frac{1}{y^2 - 1} = 1$ より $y^2 - 1 = 1$ なので $y^2 = 2$ となり、$y = \pm \sqrt{2}$。

$f(y) = -1$ のとき、$\frac{1}{y^2 - 1} = -1$ より $y^2 - 1 = -1$ なので $y^2 = 0$ となり、$y = 0$。

したがって、$y \neq 1, -1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}, 0$ であれば、$f(f(y))$ は意味を持ちます。

(3) $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ について

$f(a+h) = \frac{1}{(a+h)^2 - 1} = \frac{1}{a^2 + 2ah + h^2 - 1}$

$f(a) = \frac{1}{a^2 - 1}$

$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\frac{1}{a^2 + 2ah + h^2 - 1} - \frac{1}{a^2 - 1}}{h} = \frac{\frac{(a^2 - 1) - (a^2 + 2ah + h^2 - 1)}{(a^2 + 2ah + h^2 - 1)(a^2 - 1)}}{h} = \frac{\frac{-2ah - h^2}{(a^2 + 2ah + h^2 - 1)(a^2 - 1)}}{h} = \frac{-2a - h}{(a^2 + 2ah + h^2 - 1)(a^2 - 1)}$

$= \frac{-2a - h}{((a+h)^2 - 1)(a^2 - 1)}$

3. 最終的な答え

(1) 定義域 $X$: $X = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1, x \neq -1\}$

(2) $f(f(y))$ が意味をもつ $y$ の値: $y \neq 1, -1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}, 0$

(3) $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$: $\frac{-2a - h}{((a+h)^2 - 1)(a^2 - 1)}$