与えられた2階線形非同次微分方程式 $\frac{d^2y(t)}{dt^2} - 3\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = 4e^{3t}$ を、初期条件 $y(0) = 0$ と $\frac{dy(0)}{dt} = 3$ のもとで解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式

$\frac{d^2y(t)}{dt^2} - 3\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = 4e^{3t}$

を、初期条件 $y(0) = 0$ と $\frac{dy(0)}{dt} = 3$ のもとで解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 同次方程式の解を求める。

同次方程式

$\frac{d^2y(t)}{dt^2} - 3\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = 0$

の特性方程式は

$r^2 - 3r + 2 = 0$

$(r-1)(r-2) = 0$

したがって、特性根は $r_1 = 1$ と $r_2 = 2$ です。

同次方程式の一般解は

$y_h(t) = c_1e^t + c_2e^{2t}$

となります。ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

(2) 非同次方程式の特殊解を求める。

非同次項が $4e^{3t}$ であるため、特殊解を $y_p(t) = Ae^{3t}$ と仮定します。

これを元の微分方程式に代入すると、

$9Ae^{3t} - 3(3Ae^{3t}) + 2Ae^{3t} = 4e^{3t}$

$9Ae^{3t} - 9Ae^{3t} + 2Ae^{3t} = 4e^{3t}$

$2Ae^{3t} = 4e^{3t}$

したがって、$A = 2$ となり、特殊解は

$y_p(t) = 2e^{3t}$

となります。

(3) 一般解を求める。

一般解は同次方程式の一般解と特殊解の和で与えられます。

$y(t) = y_h(t) + y_p(t) = c_1e^t + c_2e^{2t} + 2e^{3t}$

(4) 初期条件を用いて定数を決定する。

$y(0) = 0$ より、

$y(0) = c_1e^0 + c_2e^0 + 2e^0 = c_1 + c_2 + 2 = 0$

$\frac{dy(t)}{dt} = c_1e^t + 2c_2e^{2t} + 6e^{3t}$

$\frac{dy(0)}{dt} = 3$ より、

$\frac{dy(0)}{dt} = c_1e^0 + 2c_2e^0 + 6e^0 = c_1 + 2c_2 + 6 = 3$

したがって、連立方程式

$c_1 + c_2 + 2 = 0$

$c_1 + 2c_2 + 6 = 3$

を解く必要があります。

2番目の式から1番目の式を引くと、$c_2 + 4 = 3$ となり、$c_2 = -1$ です。

$c_1 = -c_2 - 2 = -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1$

したがって、$c_1 = -1$ と $c_2 = -1$ です。

(5) 解を書き下す。

$y(t) = -e^t - e^{2t} + 2e^{3t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = -e^t - e^{2t} + 2e^{3t}$