集合 $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \leq 1\}$ と集合 $B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 2\}$ が与えられています。 (1) $A \cap B$ の上界の集合 $U(A \cap B)$ を求めます。 (2) $A \cap B$ の上限 $\sup(A \cap B)$ を求めます。 (3) $A \cap B$ の下界の集合 $L(A \cap B)$ を求めます。 (4) $A \cap B$ の下限 $\inf(A \cap B)$ を求めます。

1. 問題の内容

集合 $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \leq 1\}$ と集合 $B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 2\}$ が与えられています。

(1) $A \cap B$ の上界の集合 $U(A \cap B)$ を求めます。

(2) $A \cap B$ の上限 $\sup(A \cap B)$ を求めます。

(3) $A \cap B$ の下界の集合 $L(A \cap B)$ を求めます。

(4) $A \cap B$ の下限 $\inf(A \cap B)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B$ を求めます。

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \leq 1\}$ であり、$B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 2\}$ であるから、$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \leq 1\}$ となります。

(1) $A \cap B$ の上界の集合 $U(A \cap B)$ を求めます。

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \leq 1\}$ の上界は $x \geq 1$ を満たす実数 $x$ です。

したがって、$U(A \cap B) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1\}$ となります。

(2) $A \cap B$ の上限 $\sup(A \cap B)$ を求めます。

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \leq 1\}$ の上限は 1 です。

(3) $A \cap B$ の下界の集合 $L(A \cap B)$ を求めます。

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \leq 1\}$ の下界は $x \leq 0$ を満たす実数 $x$ です。

したがって、$L(A \cap B) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 0\}$ となります。

(4) $A \cap B$ の下限 $\inf(A \cap B)$ を求めます。

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \leq 1\}$ の下限は 0 です。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B$ の上界の集合: $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1\}$

(2) $A \cap B$ の上限: 1

(3) $A \cap B$ の下界の集合: $\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 0\}$

(4) $A \cap B$ の下限: 0