与えられた6つの数列の極限を求める問題です。各数列の一般項は以下の通りです。 (1) $a_n = \frac{(n+1)(n+2)}{n^2-3}$ (2) $a_n = \frac{-n^3+1}{3n^2-2}$ (3) $a_n = \sqrt{\frac{2n-1}{n+1}}$ (4) $a_n = \frac{1}{\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n}}$ (5) $a_n = \frac{3^n-2^{n+1}}{2^n+3^n}$ (6) $a_n = \frac{\cos(3n\pi)}{2n}$

1. 問題の内容

与えられた6つの数列の極限を求める問題です。各数列の一般項は以下の通りです。

(1) $a_n = \frac{(n+1)(n+2)}{n^2-3}$

(2) $a_n = \frac{-n^3+1}{3n^2-2}$

(3) $a_n = \sqrt{\frac{2n-1}{n+1}}$

(4) $a_n = \frac{1}{\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n}}$

(5) $a_n = \frac{3^n-2^{n+1}}{2^n+3^n}$

(6) $a_n = \frac{\cos(3n\pi)}{2n}$

2. 解き方の手順

(1) 分子を展開し、$n^2$で割る：

$a_n = \frac{n^2+3n+2}{n^2-3} = \frac{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{1-\frac{3}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0+0}{1-0} = 1$

(2) 分子分母を$n^2$で割る：

$a_n = \frac{-n+\frac{1}{n^2}}{3-\frac{2}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n^2} \to 0$なので、$a_n \to -\infty$

$\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$

(3) 分子分母を$n$で割る：

$a_n = \sqrt{\frac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{\frac{2-0}{1+0}} = \sqrt{2}$

(4) 分母を有理化する：

$a_n = \frac{1}{\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n}} \cdot \frac{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n}}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n}} = \frac{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n}}{(2n+3)-2n} = \frac{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n}}{3}$

$n \to \infty$のとき、$a_n \to \infty$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$

(5) 分子分母を$3^n$で割る：

$a_n = \frac{1-2(\frac{2}{3})^n}{\frac{2^n}{3^n}+1} = \frac{1-2(\frac{2}{3})^n}{(\frac{2}{3})^n+1}$

$n \to \infty$のとき、$(\frac{2}{3})^n \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1-2 \cdot 0}{0+1} = 1$

(6) $\cos(3n\pi)$の値は$n$が偶数のとき1、奇数のとき-1となる。したがって、

$-1 \le \cos(3n\pi) \le 1$

よって、$|\frac{\cos(3n\pi)}{2n}| \le \frac{1}{2n}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{2n} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\cos(3n\pi)}{2n} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $-\infty$

(3) $\sqrt{2}$

(4) $\infty$

(5) 1

(6) 0