与えられた一般解 $x(t) = c_1 \sin(\omega_0 t) + c_2 \cos(\omega_0 t)$ に対して、 (i) 速度 $v(t) = \dot{x}(t)$ を求め、 (ii) 以下の初期条件 (A) と (B) のそれぞれについて、$x(t)$ を求め、そのグラフの概形を図示する。 (A) $t=0$ で $x(0) = X_0 > 0$, $v(0) = 0$ (B) $t=0$ で $x(0) = 0$, $v(0) = V_0 > 0$

1. 問題の内容

与えられた一般解 $x(t) = c_1 \sin(\omega_0 t) + c_2 \cos(\omega_0 t)$ に対して、

(i) 速度 $v(t) = \dot{x}(t)$ を求め、

(ii) 以下の初期条件 (A) と (B) のそれぞれについて、$x(t)$ を求め、そのグラフの概形を図示する。

(A) $t=0$ で $x(0) = X_0 > 0$, $v(0) = 0$

(B) $t=0$ で $x(0) = 0$, $v(0) = V_0 > 0$

2. 解き方の手順

(i) 速度 $v(t)$ を求める。

$x(t)$ を時間 $t$ で微分して $v(t)$ を得る。

$v(t) = \frac{d}{dt} x(t) = \frac{d}{dt} (c_1 \sin(\omega_0 t) + c_2 \cos(\omega_0 t)) = c_1 \omega_0 \cos(\omega_0 t) - c_2 \omega_0 \sin(\omega_0 t)$.

(ii) 初期条件 (A) を用いて $x(t)$ を求める。

$t=0$ で $x(0) = X_0$ より、

$x(0) = c_1 \sin(0) + c_2 \cos(0) = c_2 = X_0$.

$t=0$ で $v(0) = 0$ より、

$v(0) = c_1 \omega_0 \cos(0) - c_2 \omega_0 \sin(0) = c_1 \omega_0 = 0$.

$\omega_0 > 0$ より $c_1 = 0$.

したがって、$x(t) = X_0 \cos(\omega_0 t)$. これはコサインカーブであり、$t=0$ で最大値 $X_0$ をとり、周期は $2\pi/\omega_0$ である。

(iii) 初期条件 (B) を用いて $x(t)$ を求める。

$t=0$ で $x(0) = 0$ より、

$x(0) = c_1 \sin(0) + c_2 \cos(0) = c_2 = 0$.

$t=0$ で $v(0) = V_0$ より、

$v(0) = c_1 \omega_0 \cos(0) - c_2 \omega_0 \sin(0) = c_1 \omega_0 = V_0$.

したがって、$c_1 = \frac{V_0}{\omega_0}$.

よって、$x(t) = \frac{V_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t)$. これはサインカーブであり、$t=0$ で 0 をとり、周期は $2\pi/\omega_0$ である。

3. 最終的な答え

(i) $v(t) = c_1 \omega_0 \cos(\omega_0 t) - c_2 \omega_0 \sin(\omega_0 t)$

(ii) (A) $x(t) = X_0 \cos(\omega_0 t)$

(B) $x(t) = \frac{V_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t)$