与えられた偏微分方程式 $\frac{\partial}{\partial t} u(x,t) = C^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t)$ に対して、以下の2つの小問に答えます。 (1) $u(x,t) = X(x)T(t)$ であるとき、$\frac{\partial}{\partial t} u(x,t)$ と $\frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t)$ を計算します。 (2) $\frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} \cdot \frac{1}{X(x)} = -\lambda$ であるとき、$u(x,t)$ を求めます。ただし、$\lambda$ は実数です。

1. 問題の内容

与えられた偏微分方程式

$\frac{\partial}{\partial t} u(x,t) = C^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t)$

に対して、以下の2つの小問に答えます。

(1) $u(x,t) = X(x)T(t)$ であるとき、$\frac{\partial}{\partial t} u(x,t)$ と $\frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t)$ を計算します。

(2) $\frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} \cdot \frac{1}{X(x)} = -\lambda$ であるとき、$u(x,t)$ を求めます。ただし、$\lambda$ は実数です。

2. 解き方の手順

(1) $u(x,t) = X(x)T(t)$ のとき、

$\frac{\partial}{\partial t} u(x,t) = X(x) \frac{d}{dt} T(t) = X(x) T'(t)$

$\frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t) = T(t) \frac{d^2}{dx^2} X(x) = T(t) X''(x)$

(2) 与えられた条件 $\frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} \cdot \frac{1}{X(x)} = -\lambda$ より、

$\frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} = -\lambda X(x)$

つまり、$X''(x) = -\lambda X(x)$

これは定数係数の2階線形同次微分方程式です。

$\lambda > 0$ のとき、$\lambda = k^2$ とおくと、$X(x) = A\cos(kx) + B\sin(kx)$

$\lambda = 0$ のとき、$X(x) = Ax + B$

$\lambda < 0$ のとき、$\lambda = -k^2$ とおくと、$X(x) = Ae^{kx} + Be^{-kx}$

となります。

与えられた偏微分方程式に代入すると、

$X(x) T'(t) = C^2 T(t) X''(x)$

$X(x) T'(t) = C^2 T(t) (-\lambda X(x))$

$\frac{T'(t)}{T(t)} = -C^2 \lambda$

これを解くと、

$T(t) = Ce^{-C^2 \lambda t}$

したがって、$u(x,t) = X(x)T(t) = Ce^{-C^2 \lambda t} (A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x))$ （$\lambda > 0$のとき）

$u(x,t) = Ce^{-C^2 \lambda t} (Ax + B)$ （$\lambda = 0$のとき）

$u(x,t) = Ce^{-C^2 \lambda t} (Ae^{\sqrt{-\lambda}x} + Be^{-\sqrt{-\lambda}x})$ （$\lambda < 0$のとき）

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial}{\partial t} u(x,t) = X(x)T'(t)$, $\frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t) = T(t)X''(x)$

(2) $\lambda > 0$ のとき: $u(x,t) = e^{-C^2 \lambda t} (A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x))$

$\lambda = 0$ のとき: $u(x,t) = (Ax + B)$

$\lambda < 0$ のとき: $u(x,t) = e^{-C^2 \lambda t} (Ae^{\sqrt{-\lambda}x} + Be^{-\sqrt{-\lambda}x})$

（ここで、定数Cを吸収してA, Bに含めています。）