$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos n\pi}{3^n}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos n\pi}{3^n}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\cos n\pi$ の値は、$n$ が偶数のとき $1$ 、奇数のとき $-1$ となります。したがって、$\cos n\pi = (-1)^n$ と書けます。

与えられた級数は、

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos n\pi}{3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n}$

と書き換えられます。

これは等比級数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ の形をしています。ここで、$a = 1$ 、 $r = -\frac{1}{3}$ です。

等比級数の公式より、 $|r|<1$ のとき、$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$ です。

今回の問題では、$|r| = \left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} < 1$ なので、この公式が使えます。

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$