与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{xy}$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{xy}$ を解きます。

2. 解き方の手順

この微分方程式は同次形であるため、$y = vx$ と変数変換します。

このとき、$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ となります。

これを元の微分方程式に代入すると、

$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{x(vx)} = \frac{x^2 + v^2x^2}{vx^2} = \frac{1+v^2}{v}$

$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{v} - v = \frac{1+v^2-v^2}{v} = \frac{1}{v}$

$v dv = \frac{1}{x} dx$

両辺を積分すると、

$\int v dv = \int \frac{1}{x} dx$

$\frac{1}{2}v^2 = \ln|x| + C$

$v^2 = 2\ln|x| + 2C$

ここで、$y=vx$ なので、$v=\frac{y}{x}$ となります。これを代入すると、

$(\frac{y}{x})^2 = 2\ln|x| + 2C$

$\frac{y^2}{x^2} = 2\ln|x| + 2C$

$y^2 = x^2(2\ln|x| + 2C)$

$y^2 = 2x^2(\ln|x| + C)$

3. 最終的な答え

$y^2 = 2x^2(\ln|x| + C)$