関数 $y = x \log x$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x \log x$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つけます。

$y = x \log x$

$y' = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$y'' = \frac{1}{x}$

$y''' = -\frac{1}{x^2} = -1 \cdot x^{-2}$

$y^{(4)} = \frac{2}{x^3} = 2 \cdot x^{-3}$

$y^{(5)} = -\frac{6}{x^4} = -6 \cdot x^{-4}$

$y^{(6)} = \frac{24}{x^5} = 24 \cdot x^{-5}$

$n \ge 3$ のとき、$y^{(n)}$ は次の形になると予想できます。

$y^{(n)} = (-1)^{n-3} (n-3)! \cdot x^{-(n-2)}$

数学的帰納法を用いて証明します。

(i) $n = 3$ のとき、$y''' = -\frac{1}{x^2} = (-1)^{3-3} (3-3)! x^{-(3-2)} = (-1)^0 \cdot 0! \cdot x^{-1} = -1 \cdot x^{-2}$ となり成り立ちます。

(ii) $n = k$ のとき、$y^{(k)} = (-1)^{k-3} (k-3)! x^{-(k-2)}$ が成り立つと仮定します。

$n = k+1$ のとき、

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} \left[(-1)^{k-3} (k-3)! x^{-(k-2)} \right]$

$= (-1)^{k-3} (k-3)! \cdot (-(k-2)) x^{-(k-2)-1}$

$= (-1)^{k-3} (k-3)! \cdot (-(k-2)) x^{-(k-1)}$

$= (-1)^{k-2} (k-2) (k-3)! x^{-(k-1)}$

$= (-1)^{(k+1)-3} ((k+1)-3)! x^{-((k+1)-2)}$

となり、$n = k+1$ のときも成り立ちます。

したがって、$n \ge 3$ のとき、$y^{(n)} = (-1)^{n-3} (n-3)! x^{-(n-2)}$ が成り立ちます。

$n = 1$ のとき、$y' = \log x + 1$

$n = 2$ のとき、$y'' = \frac{1}{x}$

$n \geq 3$ のとき

$y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-3} (n-3)!}{x^{n-2}}$

3. 最終的な答え

$n = 1$ のとき、$y' = \log x + 1$

$n = 2$ のとき、$y'' = \frac{1}{x}$

$n \ge 3$ のとき、$y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-3} (n-3)!}{x^{n-2}}$