問題は、 $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の不等式と方程式を解くことです。 (1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$ (2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ (3) $4\sin^2\theta = 1$

1. 問題の内容

問題は、 $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の不等式と方程式を解くことです。

(1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

(3) $4\sin^2\theta = 1$

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$

まず、$\cos\theta = \frac{1}{2}$ となる$\theta$を求めます。 $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = \frac{\pi}{3}$と$\theta = \frac{5\pi}{3}$です。

$\cos\theta$ が $\frac{1}{2}$ より小さい範囲は、$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$ です。

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

まず、$\tan x = \sqrt{3}$ となる $x$ を求めます。$\tan x = \sqrt{3}$ となるのは、$x = \frac{\pi}{3} + n\pi$ ( $n$ は整数) のときです。

したがって、$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + n\pi$ となり、$\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲では、

$n=0$ のとき $\theta = \frac{2\pi}{3}$

$n=1$ のとき $\theta = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3}$

したがって、$\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ です。

(3) $4\sin^2\theta = 1$

$\sin^2\theta = \frac{1}{4}$

$\sin\theta = \pm\frac{1}{2}$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$

(2) $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$