与えられた曲線、直線、およびx軸で囲まれた図形の面積を求めます。 (1) $y = x^2 + 1$, x軸, $x = -2$, $x = 1$ (2) $y = 4 - x^2$, x軸 (3) $y = x^3 + 1$, x軸, $x = 2$

はい、承知しました。以下の形式で問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた曲線、直線、およびx軸で囲まれた図形の面積を求めます。

(1) $y = x^2 + 1$, x軸, $x = -2$, $x = 1$

(2) $y = 4 - x^2$, x軸

(3) $y = x^3 + 1$, x軸, $x = 2$

2. 解き方の手順

(1) 面積は定積分で計算できます。$x = -2$ から $x = 1$ の範囲で、$y = x^2 + 1$ の定積分を計算します。

$S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 1) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1}{3}(1)^3 + 1 \right) - \left( \frac{1}{3}(-2)^3 + (-2) \right) = \frac{1}{3} + 1 - \left( -\frac{8}{3} - 2 \right) = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} + 2 = \frac{12}{3} + 2 = 4 + 2 = 6$

(2) まず、$y = 4 - x^2$ とx軸との交点を求めます。$4 - x^2 = 0$ を解くと、$x = \pm 2$ となります。したがって、面積は $x = -2$ から $x = 2$ の範囲で、$y = 4 - x^2$ の定積分を計算することで得られます。

$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = \left[ 4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{1}{3}(2)^3 \right) - \left( 4(-2) - \frac{1}{3}(-2)^3 \right) = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3}$

(3) 面積を計算するためには、$y = x^3 + 1$ が $x=0$ と $x=2$ の間でx軸と交わるかどうかを確認します。$x^3 + 1 = 0$ とすると、$x = -1$ となります。$x = -1$ は積分の区間である $0 \le x \le 2$ に含まれていないため、$y = x^3 + 1$ はこの区間で常に正です。したがって、面積は $x = 0$ から $x = 2$ の範囲で、$y = x^3 + 1$ の定積分を計算することで得られます。

$S = \int_{0}^{2} (x^3 + 1) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 + x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{1}{4}(2)^4 + 2 \right) - \left( \frac{1}{4}(0)^4 + 0 \right) = \frac{16}{4} + 2 = 4 + 2 = 6$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) $\frac{32}{3}$

(3) 6