SENSEI AI
About App

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$ を求めよ。

解析学極限三角関数ロピタルの定理
2025/6/2

1. 問題の内容

lim⁡x→0sin⁡3xsin⁡5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} を求めよ。

2. 解き方の手順

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 を利用する。
sin⁡3xsin⁡5x\frac{\sin 3x}{\sin 5x} を sin⁡3x3x⋅5xsin⁡5x⋅3x5x\frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3x}{5x} のように変形する。
lim⁡x→0sin⁡3xsin⁡5x=lim⁡x→0sin⁡3x3x⋅5xsin⁡5x⋅3x5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3x}{5x}
=lim⁡x→0sin⁡3x3x⋅lim⁡x→05xsin⁡5x⋅lim⁡x→03x5x= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x}
lim⁡x→0sin⁡3x3x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1 であり、 lim⁡x→0sin⁡5x5x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1 であるから、 lim⁡x→05xsin⁡5x=1\lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} = 1 となる。
よって、
lim⁡x→0sin⁡3xsin⁡5x=1⋅1⋅lim⁡x→03x5x=lim⁡x→035=35\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = 1 \cdot 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{5} = \frac{3}{5}

3. 最終的な答え

35\frac{3}{5}

「解析学」の関連問題

加法定理を用いて、以下の値を求めます。 (1) $\sin(\frac{7}{12}\pi)$ (2) $\cos(\frac{3}{4}\pi)$

三角関数加法定理sincos
2025/6/4

$x$-$z$ 平面上の2次元ベクトル場 $\mathbf{f} = z\mathbf{i}$ の回転を計算する問題です。ここで $\mathbf{i}$ は $x$ 軸方向の単位ベクトルです。

ベクトル場回転偏微分
2025/6/4

与えられた曲線に接し、かつ与えられた点を通る接線を全て求める問題です。 (8) $y = x^3 - 4x$ で点 $(1, -3)$ を通る接線を求める。 (9) $y = 2x^2 - x^3$ ...

接線微分三次関数
2025/6/4

与えられた積分 $\int_{0}^{\pi/6} \sin^2(t)\cos(t) \, dt$ を計算します。

積分定積分置換積分三角関数
2025/6/4

曲線 $C: y=x^3-x$ 上の点 $T(t, t^3-t)$ における接線を考える。点 $A(a, b)$ を通る接線が2本存在するとき、 $a, b$ の満たす関係式を求める。ただし、$a>0...

接線微分3次関数直交
2025/6/4

定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$ を計算します。ここで、$m$と$n$は自然数です。

定積分三角関数積分の計算
2025/6/4

媒介変数 $t$ を用いて、$x = 2\cos t - \cos 2t$、$y = 2\sin t - \sin 2t$ ($0 \leq t \leq \pi$) と表される曲線と、$x$ 軸で囲...

積分媒介変数表示面積
2025/6/4

マクローリンの定理を用いて、以下の空欄を埋める問題です。 (1) $\cos x = \sum_{k=0}^{n} (a) + R_{2n+2}$ であり、剰余項 $R_{2n+2} = (b)$ を...

マクローリン展開剰余項平均値の定理極限
2025/6/4

定積分 $\int_{0}^{1} (2+x)\sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算します。

定積分積分置換積分円の面積
2025/6/4

次の2つの条件を満たす2次関数 $f(x)$ を求める問題です。 条件1: $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2 - 1} = 2$ 条件2: $\lim_{x \...

2次関数極限因数分解
2025/6/4