問題は、次の極限を求めることです。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

1. 問題の内容

問題は、次の極限を求めることです。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の公式を利用します。

まず、式を以下のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{3x}$

ここで、$\frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$ ですから、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{3}$

$y = 2x$ と置くと、$x \to 0$ のとき $y \to 0$ ですから、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$