与えられた曲線と直線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。具体的には以下の3つの問題があります。 (1) $y = x^2 + 1$, $x$軸, $x = -2$, $x = 1$ で囲まれた図形 (2) $y = 4 - x^2$, $x$軸で囲まれた図形 (3) $y = x^3 + 1$, $x$軸, $x = 2$ で囲まれた図形

1. 問題の内容

与えられた曲線と直線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。具体的には以下の3つの問題があります。

(1) $y = x^2 + 1$, $x$軸, $x = -2$, $x = 1$ で囲まれた図形

(2) $y = 4 - x^2$, $x$軸で囲まれた図形

(3) $y = x^3 + 1$, $x$軸, $x = 2$ で囲まれた図形

2. 解き方の手順

それぞれの問題について面積を求める手順を説明します。

(1) $y = x^2 + 1$, $x$軸, $x = -2$, $x = 1$ で囲まれた図形

$x^2 + 1$ は常に正なので、$x$軸との交点はありません。したがって、面積 $S_1$ は定積分で計算できます。

$S_1 = \int_{-2}^{1} (x^2 + 1) dx$

定積分を計算します。

$S_1 = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x \right]_{-2}^{1} = \left(\frac{1}{3}(1)^3 + 1\right) - \left(\frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)\right) = \left(\frac{1}{3} + 1\right) - \left(-\frac{8}{3} - 2\right) = \frac{4}{3} - \left(-\frac{14}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{14}{3} = \frac{18}{3} = 6$

(2) $y = 4 - x^2$, $x$軸で囲まれた図形

$4 - x^2 = 0$ を解くと、$x = \pm 2$ となります。したがって、積分区間は $-2 \le x \le 2$ です。また、$4 - x^2$ は $x = \pm 2$ の区間では常に正なので、面積 $S_2$ は定積分で計算できます。

$S_2 = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$

定積分を計算します。

$S_2 = \left[ 4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} = \left(4(2) - \frac{1}{3}(2)^3\right) - \left(4(-2) - \frac{1}{3}(-2)^3\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

(3) $y = x^3 + 1$, $x$軸, $x = 2$ で囲まれた図形

$x^3 + 1 = 0$ を解くと、$x = -1$ となります。したがって、積分区間は $-1 \le x \le 2$ です。

$x^3 + 1$ は $x = -1$ で $x$軸と交わるので、$-1 \le x \le 2$ の区間で積分します。$x^3+1$ は $x=-1$から$x=2$で正なので、面積 $S_3$ は定積分で計算できます。

$S_3 = \int_{-1}^{2} (x^3 + 1) dx$

定積分を計算します。

$S_3 = \left[ \frac{1}{4}x^4 + x \right]_{-1}^{2} = \left(\frac{1}{4}(2)^4 + 2\right) - \left(\frac{1}{4}(-1)^4 + (-1)\right) = \left(\frac{16}{4} + 2\right) - \left(\frac{1}{4} - 1\right) = (4 + 2) - \left(-\frac{3}{4}\right) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24}{4} + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 6$

(2) $S_2 = \frac{32}{3}$

(3) $S_3 = \frac{27}{4}$