曲線 $y = x^2 - 3$ と $x$軸で囲まれた図形の面積を求めます。

## 問題1(1)

1. **問題の内容**

曲線 $y = x^2 - 3$ と $x$軸で囲まれた図形の面積を求めます。

2. **解き方の手順**

まず、$y = x^2 - 3$ と $x$軸との交点を求めます。これは、$y = 0$ とおいて $x^2 - 3 = 0$ を解くことで、$x = \pm \sqrt{3}$ となります。

$x^2 - 3$ は区間 $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$ で負の値を取るため、面積 $S$ は次のように計算されます。

$S = - \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (x^2 - 3) dx$

偶関数の性質より、

$S = -2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (x^2 - 3) dx$

$S = -2 \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x \right]_0^{\sqrt{3}}$

$S = -2 \left( \frac{1}{3} (3\sqrt{3}) - 3\sqrt{3} \right)$

$S = -2(\sqrt{3} - 3\sqrt{3})$

$S = -2(-2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$

3. **最終的な答え**

$4\sqrt{3}$

## 問題1(2)

1. **問題の内容**

曲線 $y = x^2$ と直線 $y = x + 2$ で囲まれた図形の面積を求めます。

2. **解き方の手順**

まず、2つの曲線の交点を求めます。$x^2 = x + 2$ より、$x^2 - x - 2 = 0$ となり、$(x - 2)(x + 1) = 0$ より、$x = -1, 2$ です。

したがって、交点は $(-1, 1)$ と $(2, 4)$ です。

区間 $[-1, 2]$ において、$x + 2 \ge x^2$ であるため、面積 $S$ は次のように計算されます。

$S = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx$

$S = \left[ \frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^{2}$

$S = \left( \frac{1}{2}(4) + 2(2) - \frac{1}{3}(8) \right) - \left( \frac{1}{2}(1) + 2(-1) - \frac{1}{3}(-1) \right)$

$S = \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right)$

$S = 6 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3}$

$S = 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} = 8 - 3 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

3. **最終的な答え**

$\frac{9}{2}$

## 問題1(3)

1. **問題の内容**

曲線 $y = x^2$ と曲線 $y = -x^2 + 4$ で囲まれた図形の面積を求めます。

2. **解き方の手順**

まず、2つの曲線の交点を求めます。$x^2 = -x^2 + 4$ より、$2x^2 = 4$ となり、$x^2 = 2$ より、$x = \pm \sqrt{2}$ です。

したがって、交点は $(-\sqrt{2}, 2)$ と $(\sqrt{2}, 2)$ です。

区間 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ において、$-x^2 + 4 \ge x^2$ であるため、面積 $S$ は次のように計算されます。

$S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2 + 4 - x^2) dx$

$S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-2x^2 + 4) dx$

偶関数の性質より、

$S = 2\int_{0}^{\sqrt{2}} (-2x^2 + 4) dx$

$S = 2\left[ -\frac{2}{3}x^3 + 4x \right]_0^{\sqrt{2}}$

$S = 2\left( -\frac{2}{3}(2\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} \right)$

$S = 2\left( -\frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{12\sqrt{2}}{3} \right)$

$S = 2\left( \frac{8\sqrt{2}}{3} \right) = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

3. **最終的な答え**

$\frac{16\sqrt{2}}{3}$

## 問題1(4)

1. **問題の内容**

曲線 $y = 4x - x^2$ と曲線 $y = -2x + 9$ と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。

2. **解き方の手順**

まず、$y=4x-x^2$ と $y=-2x+9$ の交点を求めます。

$4x-x^2 = -2x+9$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$

よって、交点は $(3, 3)$ です。

また、$y = 4x - x^2$ と $y$軸($x=0$)との交点は $(0,0)$ です。

$y = -2x + 9$ と $y$軸との交点は $(0,9)$です。

求める面積は、$\int_0^3 [(4x-x^2)-(-2x+9)] dx$

$S = \int_0^3 (6x - x^2 - 9) dx$

$S = [3x^2 - \frac{1}{3}x^3 - 9x]_0^3$

$S = (3(9) - \frac{1}{3}(27) - 9(3))$

$S = 27 - 9 - 27 = -9$

面積なので絶対値を取って $9$

3. **最終的な答え**

9

## 問題1(5)

1. **問題の内容**

曲線 $y = (x+1)^2$ と直線 $y = x+2$ で囲まれた図形の面積を求めます。

2. **解き方の手順**

まず、$y=(x+1)^2$ と $y=x+2$ の交点を求めます。

$(x+1)^2 = x+2$

$x^2 + 2x + 1 = x+2$

$x^2 + x - 1 = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\alpha = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ とする。

求める面積は、 $\int_\alpha^\beta [x+2-(x+1)^2] dx$

$\int_\alpha^\beta [x+2-x^2-2x-1] dx = \int_\alpha^\beta [-x^2 -x+1] dx$

$[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x]_\alpha^\beta$

$= [-\frac{\beta^3}{3} - \frac{\beta^2}{2} + \beta] - [-\frac{\alpha^3}{3} - \frac{\alpha^2}{2} + \alpha]$

$= -\frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}(\beta^2 - \alpha^2) + (\beta - \alpha)$

$\beta - \alpha = \sqrt{5}$

$\beta + \alpha = -1$

$\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) = -\sqrt{5}$

$\beta^3 - \alpha^3 = (\beta - \alpha)(\beta^2 + \beta\alpha + \alpha^2) = (\beta - \alpha)((\beta + \alpha)^2 - \beta\alpha)$

$\alpha\beta = \frac{(-1-\sqrt{5})(-1+\sqrt{5})}{4} = \frac{1-5}{4} = -1$

$\beta^3 - \alpha^3 = (\sqrt{5})(1+1) = 2\sqrt{5}$

$= -\frac{1}{3}(2\sqrt{5}) - \frac{1}{2}(-\sqrt{5}) + \sqrt{5}$

$= -\frac{2}{3}\sqrt{5} + \frac{1}{2}\sqrt{5} + \sqrt{5}$

$= (-\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1)\sqrt{5} = \frac{-4+3+6}{6}\sqrt{5} = \frac{5}{6}\sqrt{5}$

3. **最終的な答え**

$\frac{5\sqrt{5}}{6}$

## 問題2(6)

1. **問題の内容**

曲線 $y = x^3 - 3x$ 上の点 $(2, 2)$ における接線 $l$ の式を求めます。

2. **解き方の手順**

まず、$y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3$ を計算します。

点 $(2, 2)$ における接線の傾きは、$y'(2) = 3(2^2) - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$ です。

したがって、接線 $l$ の式は、$y - 2 = 9(x - 2)$ となります。

整理すると、$y = 9x - 18 + 2$ より、$y = 9x - 16$ です。

3. **最終的な答え**

$y = 9x - 16$

## 問題2(7)

1. **問題の内容**

曲線 $C: y = x^3 - 3x$ と接線 $l: y = 9x - 16$ によって囲まれる図形の面積を求めます。

2. **解き方の手順**

まず、曲線 $C$ と接線 $l$ の交点を求めます。$x^3 - 3x = 9x - 16$ より、$x^3 - 12x + 16 = 0$ となります。

$x=2$ が解なので、因数分解すると、$(x - 2)^2 (x + 4) = 0$ となります。

したがって、$x = 2$ (重解) または $x = -4$ です。交点は $(-4, -52)$ と $(2, 2)$ です。

面積 $S$ は次のように計算されます。

$S = \int_{-4}^{2} (x^3 - 3x - (9x - 16)) dx$

$S = \int_{-4}^{2} (x^3 - 12x + 16) dx$

$S = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 6x^2 + 16x \right]_{-4}^{2}$

$S = \left( \frac{1}{4}(16) - 6(4) + 16(2) \right) - \left( \frac{1}{4}(256) - 6(16) + 16(-4) \right)$

$S = (4 - 24 + 32) - (64 - 96 - 64)$

$S = 12 - (-96) = 108$

3. **最終的な答え**

108

## 問題3(8)

1. **問題の内容**

曲線 $C: y = x^2 - 3x$ と直線 $l: y = m(x-1)$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ を $m$ の式で表します。

2. **解き方の手順**

$x^2 - 3x = m(x-1)$ より、$x^2 - 3x = mx - m$ となり、$x^2 - (3+m)x + m = 0$ です。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 3 + m$ と $\alpha\beta = m$ です。

3. **最終的な答え**

$\alpha + \beta = 3 + m$、$\alpha\beta = m$

## 問題3(9)

1. **問題の内容**

曲線 $C: y = x^2 - 3x$ と直線 $l: y = m(x-1)$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とするとき、$\beta - \alpha$ を $m$ の式で表します。

2. **解き方の手順**

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (3 + m)^2 - 4m = 9 + 6m + m^2 - 4m = m^2 + 2m + 9$ です。

したがって、$\beta - \alpha = \sqrt{m^2 + 2m + 9} = \sqrt{(m+1)^2 + 8}$ です。

3. **最終的な答え**

$\sqrt{m^2 + 2m + 9}$

## 問題3(10)

1. **問題の内容**

曲線 $C: y = x^2 - 3x$ と直線 $l: y = m(x-1)$ によって囲まれる図形の面積を $S$ とするとき、$S$ の最小値を求めます。

2. **解き方の手順**

$S = \left| \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - 3x - m(x - 1)) dx \right| = \left| \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - (3 + m)x + m) dx \right|$

$S = \left| \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx \right|$

$S = \left| - \frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 \right| = \frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3$

$\beta - \alpha = \sqrt{m^2 + 2m + 9} = \sqrt{(m+1)^2 + 8}$ より、

$S = \frac{1}{6} \left( (m+1)^2 + 8 \right)^{3/2}$

$(m+1)^2 \ge 0$ より、$(m+1)^2 + 8 \ge 8$ です。

したがって、$S \ge \frac{1}{6} (8)^{3/2} = \frac{1}{6} (2\sqrt{2})^3 = \frac{1}{6} (8 \cdot 2\sqrt{2}) = \frac{16\sqrt{2}}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$

$m = -1$ のとき、$S = \frac{8\sqrt{2}}{3}$ です。

3. **最終的な答え**

$\frac{8\sqrt{2}}{3}$

## 問題4(11)

1. **問題の内容**

次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めます。

$f(x) = x^2 + \int_{0}^{2} f(t) dt$

2. **解き方の手順**

$\int_{0}^{2} f(t) dt$ は定数なので、$A = \int_{0}^{2} f(t) dt$ とおくと、$f(x) = x^2 + A$ となります。

したがって、$A = \int_{0}^{2} (t^2 + A) dt = \left[ \frac{1}{3} t^3 + At \right]_{0}^{2} = \frac{1}{3}(8) + 2A$

$A = \frac{8}{3} + 2A$ より、$-A = \frac{8}{3}$ となり、$A = -\frac{8}{3}$ です。

$f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$

3. **最終的な答え**

$f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$

## 問題4(12)

1. **問題の内容**

次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めます。

$\int_{1}^{x} f(t) dt = x^3 + 2x - a$

2. **解き方の手順**

両辺を $x$ で微分すると、$f(x) = 3x^2 + 2$ です。

したがって、$\int_{1}^{x} (3t^2 + 2) dt = x^3 + 2x - a$

$\left[ t^3 + 2t \right]_{1}^{x} = x^3 + 2x - a$

$x^3 + 2x - (1 + 2) = x^3 + 2x - a$

$x^3 + 2x - 3 = x^3 + 2x - a$ より、$a = 3$ です。

3. **最終的な答え**

$f(x) = 3x^2 + 2$、 $a = 3$