与えられた積分を計算します。 $$\int \left( \frac{1}{9 + x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3}} \right) dx$$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \left( \frac{1}{9 + x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3}} \right) dx$$

2. 解き方の手順

与えられた積分を二つの積分に分割します。

$$\int \left( \frac{1}{9 + x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3}} \right) dx = \int \frac{1}{9 + x^2} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3}} dx$$

最初の積分は、$x = 3 \tan \theta$ と置換することで計算できます。

$dx = 3 \sec^2 \theta d\theta$

$$\int \frac{1}{9 + x^2} dx = \int \frac{1}{9 + 9 \tan^2 \theta} 3 \sec^2 \theta d\theta = \int \frac{3 \sec^2 \theta}{9 (1 + \tan^2 \theta)} d\theta = \int \frac{3 \sec^2 \theta}{9 \sec^2 \theta} d\theta = \int \frac{1}{3} d\theta = \frac{1}{3} \theta + C_1 = \frac{1}{3} \arctan \left( \frac{x}{3} \right) + C_1$$

二番目の積分は、

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3}} dx$$

$x = \sqrt{3} \cosh u$ と置換すると、$dx = \sqrt{3} \sinh u du$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{3 \cosh^2 u - 3}} \sqrt{3} \sinh u du = \int \frac{\sqrt{3} \sinh u}{\sqrt{3(\cosh^2 u - 1)}} du = \int \frac{\sqrt{3} \sinh u}{\sqrt{3 \sinh^2 u}} du = \int \frac{\sqrt{3} \sinh u}{\sqrt{3} \sinh u} du = \int 1 du = u + C_2$$

$x = \sqrt{3} \cosh u$ より、 $\cosh u = \frac{x}{\sqrt{3}}$. したがって、$u = \operatorname{arcosh} \frac{x}{\sqrt{3}} = \ln \left( \frac{x + \sqrt{x^2 - 3}}{\sqrt{3}} \right)$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3}} dx = \ln \left| x + \sqrt{x^2 - 3} \right| + C_2'$$

ここで $C_2' = C_2 - \ln \sqrt{3}$

したがって、

$$\int \left( \frac{1}{9 + x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3}} \right) dx = \frac{1}{3} \arctan \left( \frac{x}{3} \right) + \ln \left| x + \sqrt{x^2 - 3} \right| + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{3} \arctan \left( \frac{x}{3} \right) + \ln \left| x + \sqrt{x^2 - 3} \right| + C$$