関数 $y = x \sin x$ の $n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x \sin x$ の $n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を用いる。ライプニッツの公式は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数を求める公式であり、以下のように表される。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数であり、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で定義される。

この問題では、$u(x) = x$ および $v(x) = \sin x$ とおく。

$u(x) = x$ の導関数は、

$u'(x) = 1$

$u''(x) = 0$

$u^{(k)}(x) = 0$ (for $k \ge 2$)

$v(x) = \sin x$ の導関数は、

$v'(x) = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$

$v''(x) = -\sin x = \sin(x + 2\frac{\pi}{2})$

$v^{(k)}(x) = \sin(x + k\frac{\pi}{2})$

ライプニッツの公式を適用すると、

$y^{(n)} = (x \sin x)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}(x) v^{(k)}(x)$

$u(x)$ の2階以上の導関数は0であるから、和は $k=n$ および $k=n-1$ の項のみになる。

$y^{(n)} = \binom{n}{n} u^{(0)}(x) v^{(n)}(x) + \binom{n}{n-1} u^{(1)}(x) v^{(n-1)}(x)$

$y^{(n)} = \binom{n}{n} x \sin(x + n\frac{\pi}{2}) + \binom{n}{n-1} (1) \sin(x + (n-1)\frac{\pi}{2})$

二項係数を計算すると、$\binom{n}{n} = 1$ および $\binom{n}{n-1} = n$ である。

よって、

$y^{(n)} = x \sin(x + n\frac{\pi}{2}) + n \sin(x + (n-1)\frac{\pi}{2})$

三角関数の性質を利用して整理する。

$\sin(x + (n-1)\frac{\pi}{2}) = \sin(x + n\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) = \sin(x + n\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(x + n\frac{\pi}{2})\sin(\frac{\pi}{2}) = -\cos(x + n\frac{\pi}{2})$

したがって、

$y^{(n)} = x \sin(x + n\frac{\pi}{2}) - n \cos(x + n\frac{\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) - n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$