関数 $y = e^x \cos x$ の $n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^x \cos x$ の $n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^x \cos x$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つけることを試みます。

$y' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x(\cos x - \sin x)$

$y'' = e^x(\cos x - \sin x) + e^x(-\sin x - \cos x) = -2 e^x \sin x$

$y''' = -2 e^x \sin x - 2 e^x \cos x = -2 e^x (\sin x + \cos x)$

$y^{(4)} = -2 e^x (\sin x + \cos x) - 2 e^x (\cos x - \sin x) = -4 e^x \cos x$

$y = e^x \cos x$ を複素数に拡張して考えます。

$z = e^x (\cos x + i \sin x) = e^{(1+i)x}$

$z' = (1+i) e^{(1+i)x}$

$z'' = (1+i)^2 e^{(1+i)x}$

...

$z^{(n)} = (1+i)^n e^{(1+i)x}$

ここで、$1+i = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$ なので、

$(1+i)^n = (\sqrt{2})^n e^{i n \pi/4} = 2^{n/2} (\cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4})$

したがって、

$z^{(n)} = 2^{n/2} (\cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4}) e^x (\cos x + i \sin x)$

$z^{(n)} = 2^{n/2} e^x \left[ \cos(\frac{n \pi}{4} + x) + i \sin(\frac{n \pi}{4} + x) \right]$

$y = e^x \cos x$ は $z = e^x (\cos x + i \sin x)$ の実部なので、

$y^{(n)}$ は $z^{(n)}$ の実部になります。

$y^{(n)} = 2^{n/2} e^x \cos (x + \frac{n \pi}{4})$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^{n/2} e^x \cos (x + \frac{n \pi}{4})$