関数 $y = e^{-x}\sin x$ の極大値、極小値、凹凸、変曲点を調べ、曲線 $y = f(x)$ の概形を描け。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-x}\sin x$ の極大値、極小値、凹凸、変曲点を調べ、曲線 $y = f(x)$ の概形を描け。

2. 解き方の手順

(1) まず、第一階微分 $y'$ を求めます。積の微分公式を利用します。

$y' = (e^{-x})'\sin x + e^{-x}(\sin x)'$

$y' = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x$

$y' = e^{-x}(\cos x - \sin x)$

(2) 次に、第二階微分 $y''$ を求めます。

$y'' = (e^{-x}(\cos x - \sin x))'$

$y'' = (e^{-x})'(\cos x - \sin x) + e^{-x}(\cos x - \sin x)'$

$y'' = -e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x)$

$y'' = e^{-x}(-\cos x + \sin x - \sin x - \cos x)$

$y'' = e^{-x}(-2\cos x)$

$y'' = -2e^{-x}\cos x$

(3) 極値を求めます。$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-x}(\cos x - \sin x) = 0$

$e^{-x} > 0$ なので、$\cos x - \sin x = 0$

$\cos x = \sin x$

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ ( $n$ は整数)

(4) 変曲点を求めます。$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-2e^{-x}\cos x = 0$

$e^{-x} > 0$ なので、$\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ( $n$ は整数)

(5) 増減表を作成します。

| x | ... | $\frac{\pi}{4}$ | ... | $\frac{5\pi}{4}$ | ... |

| -------- | --------------------------- | --------------------------- | --------------------------- | --------------------------- | --------------------------- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y'' | + | + | - | - | + |

| y | 増加, 上に凸 | 極大値 $e^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 減少, 下に凸 | 極小値 $-e^{-\frac{5\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 増加, 上に凸 |

| x | ... | $\frac{\pi}{2}$ | ... | $\frac{3\pi}{2}$ | ... |

| -------- | --------------------------- | --------------------------- | --------------------------- | --------------------------- | --------------------------- |

| y' | | | | | |

| y'' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | 減少, 下に凸 | 変曲点 $0$ | 減少, 上に凸 | 変曲点 $0$ | 減少, 下に凸 |

(6) 概形を描きます。

$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ で極値を取り、$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ で変曲点を持ちます。

$x$ が大きくなるにつれて $y$ は $0$ に近づきます。

3. 最終的な答え

関数 $y = e^{-x}\sin x$ の

極大値: $x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ のとき $y = e^{-(\frac{\pi}{4} + 2n\pi)} \frac{\sqrt{2}}{2}$

極小値: $x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ のとき $y = -e^{-(\frac{5\pi}{4} + 2n\pi)} \frac{\sqrt{2}}{2}$

変曲点: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ のとき $y = e^{-(\frac{\pi}{2} + n\pi)} \sin(\frac{\pi}{2} + n\pi)$

概形については、上記の情報を基にグラフを作成してください。$x$ が大きくなるにつれて、$y$ は $0$ に近づきます。