与えられた4つの関数について、定義域と値域を求める問題です。関数は以下の通りです。 (1) $y = \frac{1}{x^2+1}$ (2) $y = \sqrt{1-x^2}$ (3) $y = x + \sqrt{x-2}$ (4) $y = \sin{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、定義域と値域を求める問題です。関数は以下の通りです。

(1) $y = \frac{1}{x^2+1}$

(2) $y = \sqrt{1-x^2}$

(3) $y = x + \sqrt{x-2}$

(4) $y = \sin{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x^2+1}$

* 定義域: $x^2 + 1$は常に正なので、$x$はすべての実数を取ることができます。したがって、定義域はすべての実数です。

* 値域: $x^2 \ge 0$なので、$x^2 + 1 \ge 1$。したがって、$0 < \frac{1}{x^2+1} \le 1$。つまり、$0 < y \le 1$。

(2) $y = \sqrt{1-x^2}$

* 定義域: 根号の中身が非負である必要があるので、$1-x^2 \ge 0$。これは$x^2 \le 1$を意味し、$-1 \le x \le 1$。

* 値域: $x$が$-1 \le x \le 1$の範囲にあるとき、$0 \le 1-x^2 \le 1$。したがって、$0 \le \sqrt{1-x^2} \le 1$。つまり、$0 \le y \le 1$。

(3) $y = x + \sqrt{x-2}$

* 定義域: 根号の中身が非負である必要があるので、$x-2 \ge 0$。これは$x \ge 2$を意味します。

* 値域: $x \ge 2$のとき、$\sqrt{x-2} \ge 0$。また、$x$が増加すると、$y$も増加します。$x = 2$のとき、$y = 2 + \sqrt{2-2} = 2$。したがって、$y \ge 2$。

(4) $y = \sin{\frac{1}{x}}$

* 定義域: $x$が0であってはならないので、$x \neq 0$。

* 値域: $\sin$関数の値域は常に$-1 \le \sin{\theta} \le 1$であるため、$-1 \le y \le 1$。

3. 最終的な答え

(1)

定義域: すべての実数

値域: $0 < y \le 1$

(2)

定義域: $-1 \le x \le 1$

値域: $0 \le y \le 1$

(3)

定義域: $x \ge 2$

値域: $y \ge 2$

(4)

定義域: $x \neq 0$

値域: $-1 \le y \le 1$