与えられた関数 $y = \tan(\sin(\log x))$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan(\sin(\log x))$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法（連鎖律）を使用します。

まず、$u = \sin(\log x)$ とおくと、$y = \tan(u)$ となります。

次に、$\frac{dy}{du}$ と $\frac{du}{dx}$ をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせることで $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

ステップ1：$\frac{dy}{du}$ を計算する。

$y = \tan(u)$ より、$\frac{dy}{du} = \sec^2(u)$ です。

ステップ2：$\frac{du}{dx}$ を計算する。

$u = \sin(\log x)$ なので、さらに $v = \log x$ とおくと、$u = \sin(v)$ となります。

$\frac{du}{dv} = \cos(v)$ であり、$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$ です。

したがって、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \cos(v) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos(\log x)}{x}$ となります。

ステップ3：$\frac{dy}{dx}$ を計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(u) \cdot \frac{\cos(\log x)}{x} = \sec^2(\sin(\log x)) \cdot \frac{\cos(\log x)}{x}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2(\sin(\log x)) \cos(\log x)}{x}$