与えられた関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 2})$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 2})$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を適用します。

外側の関数は対数関数であり、内側の関数は $x + \sqrt{x^2 + 2}$ です。

対数関数の微分は、$\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ で与えられます。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2}} \cdot \frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 2})$

次に、$\frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 2})$ を計算します。

$\frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 2}) = \frac{d}{dx} x + \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 2}$

$\frac{d}{dx} x = 1$

$\frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 2} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 2) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

したがって、

$\frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 2}) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} = \frac{\sqrt{x^2 + 2} + x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

これを最初の式に代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 2}}{\sqrt{x^2 + 2}}$

$x + \sqrt{x^2 + 2}$ が分子と分母で相殺されるため、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}}$