関数 $f(\theta) = -\sin 3\theta + \frac{5}{2}\cos 2\theta - 5\sin \theta + \frac{1}{2}$ ($0 \le \theta < 2\pi$) について、以下の問いに答える。 (1) $\cos 2\theta$ と $\sin 3\theta$ を $\sin \theta$ で表し、$t = \sin \theta$ とおいて $f(\theta)$ を $t$ で表す。$t$ の範囲を求め、$f(\theta)$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ を求める。 (2) 方程式 $f(\theta) = k$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる2個の実数解をもつとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = -\sin 3\theta + \frac{5}{2}\cos 2\theta - 5\sin \theta + \frac{1}{2}$ ($0 \le \theta < 2\pi$) について、以下の問いに答える。

(1) $\cos 2\theta$ と $\sin 3\theta$ を $\sin \theta$ で表し、$t = \sin \theta$ とおいて $f(\theta)$ を $t$ で表す。$t$ の範囲を求め、$f(\theta)$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ を求める。

(2) 方程式 $f(\theta) = k$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる2個の実数解をもつとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\cos 2\theta$ と $\sin 3\theta$ を $\sin \theta$ で表す。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$

$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$

よって、アは1、イは2、ウは3、エは4となる。

$t = \sin \theta$ とおくと、

$f(\theta) = -(3t - 4t^3) + \frac{5}{2}(1 - 2t^2) - 5t + \frac{1}{2} = 4t^3 - 5t^2 - 8t + 3$

よって、オは4、カは5、キは8、クは3となる。

$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$-1 \le \sin \theta \le 1$。したがって、$-1 \le t \le 1$。ケコは-1、サは1となる。

$f(t) = 4t^3 - 5t^2 - 8t + 3$ の最大値と最小値を求める。

$f'(t) = 12t^2 - 10t - 8 = 2(6t^2 - 5t - 4) = 2(2t + 1)(3t - 4)$

$f'(t) = 0$ となるのは、$t = -\frac{1}{2}, \frac{4}{3}$。ただし、$-1 \le t \le 1$ より、$t = -\frac{1}{2}$ のみ考える。

$f(-1) = 4(-1) - 5(1) - 8(-1) + 3 = 2$

$f(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{8}) - 5(\frac{1}{4}) - 8(-\frac{1}{2}) + 3 = -\frac{1}{2} - \frac{5}{4} + 4 + 3 = \frac{-2 - 5 + 16 + 12}{4} = \frac{21}{4} = 5.25$

$f(1) = 4 - 5 - 8 + 3 = -6$

したがって、最大値は $\frac{21}{4}$ ($t = -\frac{1}{2}$ のとき)で、最小値は $-6$ ($t = 1$ のとき)。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta = -\frac{1}{2}$。$\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

$t = 1$ のとき、$\sin \theta = 1$。$\theta = \frac{1}{2}\pi$

(2) $f(\theta) = k$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる2個の実数解をもつとき、$t$ の値に対応する $\theta$ の個数を考える。

$-1 < t < 1$ のとき、2個

$t = 1$ のとき、1個

$t = -1$ のとき、1個

$f(t) = k$ となる $t$ が $-1 < t < 1$ に1つだけ存在し、$t=1$または$t=-1$ の時に$f(t)=k$となれば良い。

$f(-1) = 2, f(1) = -6, f(-1/2) = 21/4$. よって、最大値の時以外に解が二つになることはない。

$k=-6$の時に$\sin \theta = 1$

$2 < k < \frac{21}{4}$ であれば、$f(t) = k$となる$t$の範囲$-1<t<1$に$t$の値が一つだけ存在し、$\sin \theta = t$となる$\theta$は二つ存在する。

3. 最終的な答え

(1) ア:1, イ:2, ウ:3, エ:4, オ:4, カ:5, キ:8, ク:3, ケコ:-1, サ:1

シ:7, ス:6, セソ:11, タ:6, チッツ:21, テ:4, ト:2, ナニ:-6

(2) ヌネ:-6, ノ:1, ハヒ:2, フ:21/4

$k=-6$ または $2 < k < \frac{21}{4}$