与えられた関数 $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2+1}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2+1}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を指数関数を用いて書き換えます。

$y = (x^2 + 1)^{-\frac{1}{3}}$

次に、合成関数の微分公式 (チェーンルール) を用いて微分します。

チェーンルールとは、$y = f(g(x))$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ というものです。

今回の場合は、$f(u) = u^{-\frac{1}{3}}$ と $g(x) = x^2 + 1$ と考えます。

まず、$f(u)$ を $u$ で微分します。

$\frac{df}{du} = -\frac{1}{3} u^{-\frac{4}{3}}$

次に、$g(x)$ を $x$ で微分します。

$\frac{dg}{dx} = 2x$

これらをチェーンルールに適用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{dg}{dx} = -\frac{1}{3} (x^2 + 1)^{-\frac{4}{3}} \cdot 2x$

最後に、式を整理します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{3(x^2 + 1)^{\frac{4}{3}}}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{2x}{3(x^2+1)^{\frac{4}{3}}}$