はい、承知いたしました。

はい、承知いたしました。

**

1. 問題の内容**

与えられた微分積分の問題集について、問題1から7までの問題について解を求める、あるいは導関数を求め、増減表を作成し、グラフを描く問題です。

**

2. 解き方の手順**

問題を一つずつ解いていきます。

**問題1**

(1) $y_1 = \frac{d}{dx}(3x+5)^8$

合成関数の微分公式を使います。$u = 3x+5$とすると、$\frac{du}{dx} = 3$。

$y_1 = \frac{d}{du}u^8 \cdot \frac{du}{dx} = 8u^7 \cdot 3 = 24(3x+5)^7$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(2x+3)^5$

同様に、$u = 2x+3$とすると、$\frac{du}{dx} = 2$。

$y_2 = \frac{d}{du}u^5 \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 2 = 10(2x+3)^4$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}(20x+22)^8$

同様に、$u = 20x+22$とすると、$\frac{du}{dx} = 20$。

$y_3 = \frac{d}{du}u^8 \cdot \frac{du}{dx} = 8u^7 \cdot 20 = 160(20x+22)^7$

**問題2**

(1) $y_1 = \frac{d}{dx}(xe^{-x})$

積の微分公式を使います。$(uv)' = u'v + uv'$。$u = x$, $v = e^{-x}$とすると、$u' = 1$, $v' = -e^{-x}$。

$y_1 = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(xe^{-x^2})$

積の微分公式を使います。$u = x$, $v = e^{-x^2}$とすると、$u' = 1$, $v' = -2xe^{-x^2}$。

$y_2 = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot (-2xe^{-x^2}) = e^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2} = (1-2x^2)e^{-x^2}$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}(x^3e^{-x})$

積の微分公式を使います。$u = x^3$, $v = e^{-x}$とすると、$u' = 3x^2$, $v' = -e^{-x}$。

$y_3 = 3x^2 \cdot e^{-x} + x^3 \cdot (-e^{-x}) = 3x^2e^{-x} - x^3e^{-x} = (3x^2 - x^3)e^{-x} = x^2(3-x)e^{-x}$

**問題3**

(1) $y_1 = \frac{d}{dx}(x\log x)$

積の微分公式を使います。$u = x$, $v = \log x$とすると、$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x}$。

$y_1 = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(x^2\log x)$

積の微分公式を使います。$u = x^2$, $v = \log x$とすると、$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{x}$。

$y_2 = 2x \cdot \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\log x + x = x(2\log x + 1)$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}\log|1-x^2|$ ($x \ne \pm 1$)

合成関数の微分公式を使います。$u = 1-x^2$とすると、$\frac{du}{dx} = -2x$。

$y_3 = \frac{1}{1-x^2} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{1-x^2} = \frac{2x}{x^2-1}$

**問題4**

(1) $y_1 = \frac{d}{dx}(e^x\sin x)$

積の微分公式を使います。$u = e^x$, $v = \sin x$とすると、$u' = e^x$, $v' = \cos x$。

$y_1 = e^x \cdot \sin x + e^x \cdot \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(e^x\cos x)$

積の微分公式を使います。$u = e^x$, $v = \cos x$とすると、$u' = e^x$, $v' = -\sin x$。

$y_2 = e^x \cdot \cos x + e^x \cdot (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}(e^x\log x)$

積の微分公式を使います。$u = e^x$, $v = \log x$とすると、$u' = e^x$, $v' = \frac{1}{x}$。

$y_3 = e^x \cdot \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x(\log x + \frac{1}{x})$

**問題5**

(1) $y_1 = \frac{d}{dx}(\frac{x+2}{x+1})$

商の微分公式を使います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。$u = x+2$, $v = x+1$とすると、$u' = 1$, $v' = 1$。

$y_1 = \frac{1 \cdot (x+1) - (x+2) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x - 2}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(\frac{2x}{x+2})$

商の微分公式を使います。$u = 2x$, $v = x+2$とすると、$u' = 2$, $v' = 1$。

$y_2 = \frac{2 \cdot (x+2) - 2x \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{2x+4 - 2x}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x+2)^2}$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}(\frac{1}{\sin x})$

$y_3 = \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x = -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

**問題6**

ライプニッツの公式は、2つの関数の積の$n$階微分を求めるためのものです。問題文に公式が記載されているので、それを利用します。

(1) $y_1 = \frac{d^n}{dx^n}(x^2e^{-x})$

$f(x) = x^2$, $g(x) = e^{-x}$ とすると、ライプニッツの公式は、

$\frac{d^n}{dx^n}(f \cdot g) = \sum_{k=0}^n {}_nC_k f^{(k)}g^{(n-k)}$

$f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$, $f''(x) = 2$, $f^{(k)}(x) = 0$ for $k > 2$

$g(x) = e^{-x}$, $g'(x) = -e^{-x}$, $g''(x) = e^{-x}$, $g^{(n)}(x) = (-1)^n e^{-x}$

$\frac{d^n}{dx^n}(x^2e^{-x}) = {}_nC_0 f(x)g^{(n)}(x) + {}_nC_1 f'(x)g^{(n-1)}(x) + {}_nC_2 f''(x)g^{(n-2)}(x)$

$= x^2 (-1)^n e^{-x} + n(2x) (-1)^{n-1}e^{-x} + \frac{n(n-1)}{2}(2) (-1)^{n-2} e^{-x}$

$= e^{-x} [(-1)^n x^2 -2n (-1)^{n-1}x + n(n-1) (-1)^{n-2}]$

$= (-1)^n e^{-x}[x^2 -2nx + n(n-1)]$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(x^2 \cos x)$

積の微分公式を利用します。$u = x^2$, $v = \cos x$ とすると、$u' = 2x$, $u'' = 2$, $v' = -\sin x$, $v'' = -\cos x$。

$y_2 = \frac{d}{dx}(x^2\cos x)$

$y'_2 = 2x \cos x - x^2 \sin x$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}((x^2+x) \sin x)$

積の微分公式を利用します。$u = x^2 + x$, $v = \sin x$ とすると、$u' = 2x+1$, $v' = \cos x$。

$y_3 = (2x+1)\sin x + (x^2+x)\cos x$

**問題7**

問題7は、導関数の計算、増減表の作成、グラフの描画です。ここでは、導関数のみを求めます。

(1) $y_1 = x^2 e^{-x}$

$y'_1 = (2x) e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x(2-x)e^{-x}$

(2) $y_2 = x^3 e^{-x}$

$y'_2 = (3x^2) e^{-x} + x^3 (-e^{-x}) = e^{-x}(3x^2 - x^3) = x^2(3-x)e^{-x}$

(3) $y_3 = e^{-(x-2)^2}$

$y'_3 = e^{-(x-2)^2} \cdot (-2(x-2)) = -2(x-2)e^{-(x-2)^2}$

**

3. 最終的な答え**

**問題1**

(1) $y_1 = 24(3x+5)^7$

(2) $y_2 = 10(2x+3)^4$

(3) $y_3 = 160(20x+22)^7$

**問題2**

(1) $y_1 = (1-x)e^{-x}$

(2) $y_2 = (1-2x^2)e^{-x^2}$

(3) $y_3 = x^2(3-x)e^{-x}$

**問題3**

(1) $y_1 = \log x + 1$

(2) $y_2 = x(2\log x + 1)$

(3) $y_3 = \frac{2x}{x^2-1}$

**問題4**

(1) $y_1 = e^x(\sin x + \cos x)$

(2) $y_2 = e^x(\cos x - \sin x)$

(3) $y_3 = e^x(\log x + \frac{1}{x})$

**問題5**

(1) $y_1 = \frac{-1}{(x+1)^2}$

(2) $y_2 = \frac{4}{(x+2)^2}$

(3) $y_3 = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

**問題6**

(1) $y_1 = (-1)^n e^{-x}[x^2 -2nx + n(n-1)]$

(2) $y'_2 = 2x \cos x - x^2 \sin x$

(3) $y_3 = (2x+1)\sin x + (x^2+x)\cos x$

**問題7**

(1) $y'_1 = x(2-x)e^{-x}$

(2) $y'_2 = x^2(3-x)e^{-x}$

(3) $y'_3 = -2(x-2)e^{-(x-2)^2}$