関数 $y = \tan\left(\frac{x+1}{x^2}\right)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan\left(\frac{x+1}{x^2}\right)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を用います。$u = \frac{x+1}{x^2}$ とおくと、$y = \tan u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

まず、$\frac{dy}{du}$ を求めます。

$y = \tan u$ なので、$\frac{dy}{du} = \sec^2 u$

次に、$\frac{du}{dx}$ を求めます。$u = \frac{x+1}{x^2}$ です。

商の微分公式を用います。$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

$f(x) = x+1$, $g(x) = x^2$ とすると、$f'(x) = 1$, $g'(x) = 2x$

したがって、

$\frac{du}{dx} = \frac{1 \cdot x^2 - (x+1) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x^2 - 2x^2 - 2x}{x^4} = \frac{-x^2 - 2x}{x^4} = \frac{-x(x+2)}{x^4} = \frac{-(x+2)}{x^3}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \sec^2 u \cdot \frac{-(x+2)}{x^3} = \sec^2 \left(\frac{x+1}{x^2}\right) \cdot \frac{-(x+2)}{x^3} = -\frac{x+2}{x^3}\sec^2\left(\frac{x+1}{x^2}\right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+2}{x^3}\sec^2\left(\frac{x+1}{x^2}\right)$