与えられた関数 $y = \sin^3(x^2)$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sin^3(x^2)$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

この関数は合成関数なので、連鎖律（chain rule）を用いる。連鎖律とは、$y = f(g(x))$ のとき、$dy/dx = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ が成り立つというものである。

この問題では、

$y = (\sin(x^2))^3$

と考えることができる。

まず、外側の関数を$u^3$と置き、$u = \sin(x^2)$とおく。すると、$du/dx$を求める必要がある。

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3\sin^2(x^2)$

次に、$u = \sin(x^2)$の微分を計算する。さらに連鎖律を使う。$v = x^2$と置くと、$u = \sin(v)$となる。

$\frac{du}{dv} = \cos(v) = \cos(x^2)$

$\frac{dv}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$

最後に、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3\sin^2(x^2) \cdot 2x\cos(x^2) = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 6x\sin^2(x^2)\cos(x^2)$