関数 $f(\theta) = -\sin 3\theta + \frac{5}{2} \cos 2\theta - 5\sin \theta + \frac{1}{2}$ ($0 \le \theta < 2\pi$)について、 (1) $\cos 2\theta$ を $\sin^2 \theta$ で表し、$\sin 3\theta$ を $\sin \theta$ と $\sin^3 \theta$ で表す。$t = \sin \theta$ とおいて、$f(\theta)$ を $t$ を用いて表し、$0 \le \theta < 2\pi$ における $t$ の値の範囲を求める。そして、$f(\theta)$ の最大値、最小値を与える $\theta$ の値と、最大値、最小値を求める。 (2) 方程式 $f(\theta) = k$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる2個の実数解をもつときの定数 $k$ の値の範囲を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = -\sin 3\theta + \frac{5}{2} \cos 2\theta - 5\sin \theta + \frac{1}{2}$ ($0 \le \theta < 2\pi$)について、

(1) $\cos 2\theta$ を $\sin^2 \theta$ で表し、$\sin 3\theta$ を $\sin \theta$ と $\sin^3 \theta$ で表す。$t = \sin \theta$ とおいて、$f(\theta)$ を $t$ を用いて表し、$0 \le \theta < 2\pi$ における $t$ の値の範囲を求める。そして、$f(\theta)$ の最大値、最小値を与える $\theta$ の値と、最大値、最小値を求める。

(2) 方程式 $f(\theta) = k$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる2個の実数解をもつときの定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ より、ア$=1$, イ$=2$

$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ より、ウ$=3$, エ$=4$

$t = \sin \theta$ とおくと、

$f(\theta) = -(3t - 4t^3) + \frac{5}{2}(1 - 2t^2) - 5t + \frac{1}{2} = 4t^3 - 5t^2 - 8t + 3$

より、オ$=4$, カ$=5$, キ$=8$, ク$=3$

$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$-1 \le \sin \theta \le 1$ よって、$-1 \le t \le 1$

より、ケコ$=-1$, サ$=1$

$f(t) = 4t^3 - 5t^2 - 8t + 3$

$f'(t) = 12t^2 - 10t - 8 = 2(6t^2 - 5t - 4) = 2(2t + 1)(3t - 4)$

$f'(t) = 0$ とすると、$t = -\frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

$-1 \le t \le 1$ における $f(t)$ の増減表は以下のようになる。

| t | -1 | ... | -1/2 | ... | 1 |

| :---- | :--- | :--- | :--- | :-- | :--- |

| f'(t) | + | + | 0 | - | - |

| f(t) | 0 | 増 | 6.75 | 減 | -6 |

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ より $\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

$t = -1$ のとき、$\sin \theta = -1$ より $\theta = \frac{3}{2}\pi$

$t = 1$ のとき、$\sin \theta = 1$ より $\theta = \frac{1}{2}\pi$

したがって、$f(\theta)$ は $\theta = \frac{7}{6}\pi$ または $\theta = \frac{11}{6}\pi$ のとき、最大値 $\frac{27}{4}$ をとり、

$\theta = \frac{1}{2}\pi$ のとき、最小値 $-6$ をとる。

シ$=7$, ス$=6$, セソ$=11$, タ$=6$, チツ$=27$, テ$=4$, ト$=1$, ナニ$=-6$

(2)

$f(\theta) = k$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる2個の実数解をもつとき、

$k = 0$ または $-6 < k < \frac{27}{4}$

ヌネ$=0$, ノ$=1$, ハヒ$=-6$, フ$=\frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

ア$=1$, イ$=2$, ウ$=3$, エ$=4$, オ$=4$, カ$=5$, キ$=8$, ク$=3$, ケコ$=-1$, サ$=1$, シ$=7$, ス$=6$, セソ$=11$, タ$=6$, チツ$=27$, テ$=4$, ト$=1$, ナニ$=-6$

(2)

ヌネ$=0$, ノ$=1$, ハヒ$=-6$, フ$=\frac{27}{4}$

$k = 0$ または $-6 < k < \frac{27}{4}$