関数 $f(x) = 1 - \sqrt{x-2}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $y = f(x)$ の定義域と値域を求めます。 (2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。 (3) 元の関数 $y = f(x)$ のグラフを実線で、逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフを点線で描きます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 1 - \sqrt{x-2}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $y = f(x)$ の定義域と値域を求めます。

(2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。

(3) 元の関数 $y = f(x)$ のグラフを実線で、逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフを点線で描きます。

2. 解き方の手順

(1) 定義域と値域の求め方

まず、定義域を求めます。根号の中身は0以上である必要があるので、$x-2 \ge 0$、つまり $x \ge 2$ となります。

次に、値域を求めます。$x \ge 2$ のとき、$\sqrt{x-2} \ge 0$ となります。したがって、$f(x) = 1 - \sqrt{x-2} \le 1$ となります。

(2) 逆関数の求め方

$y = 1 - \sqrt{x-2}$ とおきます。

これを $x$ について解きます。

$\sqrt{x-2} = 1 - y$

$x - 2 = (1 - y)^2$

$x = (1 - y)^2 + 2$

ここで、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$y = (1 - x)^2 + 2$

逆関数の定義域は元の関数の値域、値域は元の関数の定義域となることに注意すると、 $x \le 1$ である必要があります。

したがって、$f^{-1}(x) = (1 - x)^2 + 2$ ($x \le 1$) となります。

(3) グラフの描き方

$y = f(x) = 1 - \sqrt{x-2}$ のグラフは、$y = -\sqrt{x}$ を平行移動したものです。

$y = f^{-1}(x) = (1-x)^2 + 2$ ($x \le 1$) のグラフは、$y = x^2$ を平行移動したものです。

$y = f(x)$と $y = f^{-1}(x)$のグラフは直線 $y=x$ に関して対称となります。

3. 最終的な答え

(1) 定義域: $x \ge 2$, 値域: $y \le 1$

(2) $f^{-1}(x) = (1 - x)^2 + 2$ ($x \le 1$)

(3) グラフの概形:（グラフは描画できないため、説明のみとなります）

- $y=f(x)$は点$(2, 1)$から始まり、$x$が増加するにつれて$y$が減少する曲線です。

- $y=f^{-1}(x)$は、$y=x$に関して$y=f(x)$と対称な曲線で、$x \le 1$の範囲で定義されています。頂点は$(1, 2)$です。