問題は、三角関数の恒等式 $(cos x)^n = cos(x+\frac{n\pi}{2})$ が成り立つことを示すことです。しかし、これは誤りです。正しい式を示す問題として修正し、別の恒等式を示すことにします。 おそらく問題は $(cos x)^n$ が与えられたときに、どのように計算するか、またはどのように変形できるかを示唆しています。ここでは、ド・モアブルの定理を用いて $cos(nx)$ を $cos x$ の多項式で表す方法を示すことにします。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の恒等式 $(cos x)^n = cos(x+\frac{n\pi}{2})$ が成り立つことを示すことです。しかし、これは誤りです。正しい式を示す問題として修正し、別の恒等式を示すことにします。

おそらく問題は $(cos x)^n$ が与えられたときに、どのように計算するか、またはどのように変形できるかを示唆しています。ここでは、ド・モアブルの定理を用いて $cos(nx)$ を $cos x$ の多項式で表す方法を示すことにします。

2. 解き方の手順

ド・モアブルの定理を使うために、まず次の式を考えます。

$(cos x + i sin x)^n = cos(nx) + i sin(nx)$

二項定理を使って左辺を展開します。

$(cos x + i sin x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (cos x)^{n-k} (i sin x)^k$

実部と虚部を比較すると、$cos(nx)$ は $cos x$ と $sin x$ の多項式で表されます。

$cos(nx) = Re[(cos x + i sin x)^n] = \sum_{k=0, k:even}^{n} \binom{n}{k} (cos x)^{n-k} (i sin x)^k$

ここで、$sin^2 x = 1 - cos^2 x$ を使うと、$cos(nx)$ は $cos x$ の多項式で表すことができます。

例えば、$n=2$ のとき、

$(cos x + i sin x)^2 = cos^2 x - sin^2 x + 2i cos x sin x = cos(2x) + i sin(2x)$

$cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x = cos^2 x - (1 - cos^2 x) = 2 cos^2 x - 1$

$n=3$ のとき、

$(cos x + i sin x)^3 = cos^3 x + 3 cos^2 x (i sin x) + 3 cos x (i sin x)^2 + (i sin x)^3$

$= cos^3 x - 3 cos x sin^2 x + i(3 cos^2 x sin x - sin^3 x)$

$cos(3x) = cos^3 x - 3 cos x sin^2 x = cos^3 x - 3 cos x (1 - cos^2 x) = 4 cos^3 x - 3 cos x$

3. 最終的な答え

$cos(nx)$ は $cos x$ の多項式として表すことができます。例えば、$cos(2x) = 2 cos^2 x - 1$、$cos(3x) = 4 cos^3 x - 3 cos x$ などとなります。 与えられた式 $(cos x)^n = cos(x + \frac{n\pi}{2})$ は一般には成り立ちません。

修正後の問題の答えとしては、上記のド・モアブルの定理を用いた展開と、それによる$cos(nx)$を$cos x$の多項式で表す方法を示すことが適切です。