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$g(x) = \cos^{-1}(-x)$ のとき、$g'(x)$ を求めよ。

解析学微分逆三角関数合成関数
2025/6/1

1. 問題の内容

g(x)=cos⁡−1(−x)g(x) = \cos^{-1}(-x) のとき、g′(x)g'(x) を求めよ。

2. 解き方の手順

逆三角関数の微分公式を使用します。
cos⁡−1(x)\cos^{-1}(x) の微分は次のようになります。
ddxcos⁡−1(x)=−11−x2\frac{d}{dx} \cos^{-1}(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
g(x)=cos⁡−1(−x)g(x) = \cos^{-1}(-x) を微分するには、合成関数の微分（チェーンルール）を使用します。
u=−xu = -x とすると、g(x)=cos⁡−1(u)g(x) = \cos^{-1}(u)となります。
dgdx=dgdu⋅dudx\frac{dg}{dx} = \frac{dg}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dgdu=−11−u2\frac{dg}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}
dudx=−1\frac{du}{dx} = -1
したがって、
dgdx=−11−(−x)2⋅(−1)=11−x2\frac{dg}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(-x)^2}} \cdot (-1) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

3. 最終的な答え

g′(x)=11−x2g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

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