関数 $h(x) = \arctan(\frac{1}{\log x})$ の導関数 $h'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $h(x) = \arctan(\frac{1}{\log x})$ の導関数 $h'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を利用します。

まず、$\arctan u$ の微分は $\frac{1}{1+u^2}$ です。

次に、$\frac{1}{\log x}$ の微分を求めます。これは $(\log x)^{-1}$ と書けるので、べき関数の微分公式と $\log x$ の微分を利用します。$\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ です。

まず、$u = \frac{1}{\log x}$ とおくと、

$h(x) = \arctan(u)$

となります。

$\frac{dh}{dx} = \frac{dh}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dh}{du} = \frac{1}{1+u^2} = \frac{1}{1 + (\frac{1}{\log x})^2} = \frac{1}{1+\frac{1}{(\log x)^2}}$

$u = (\log x)^{-1}$ より、

$\frac{du}{dx} = -1 (\log x)^{-2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{x (\log x)^2}$

したがって、

$h'(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{(\log x)^2}} \cdot (-\frac{1}{x (\log x)^2})$

$= \frac{1}{\frac{(\log x)^2 + 1}{(\log x)^2}} \cdot (-\frac{1}{x (\log x)^2})$

$= \frac{(\log x)^2}{(\log x)^2 + 1} \cdot (-\frac{1}{x (\log x)^2})$

$= -\frac{1}{x ((\log x)^2 + 1)}$

$= -\frac{1}{x((\log x)^2+1)}$

3. 最終的な答え

$h'(x) = -\frac{1}{x((\log x)^2+1)}$